函数的和、差、积、商的导数(2)

1、课题：3．3函数的和、差、积、商的导数(2)教学目的：1.理解商的导数法则，并能进行运用.2.能够综合运用各种法则求函数的导数奎屯王新敞新疆教学重点：商的导数法则.教学难点：两个函数的商的求导法则的推导．授课类型：新授课奎屯王新敞新疆课时安排：1课时奎屯王新敞新疆教具：多媒体、实物投影仪奎屯王新敞新疆教学过程：一、复习引入：1.导数的定义：设函数)(xfy在0xx处附近有定义，如果0x时，y与x的比xy（也叫函数的平均变化率）有极限即xy无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(xfy在0xx处的导数，记作0/xxy，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000/2.导数的几何意义：是曲线)(xfy上点（)(,00xfx）处的切线的斜率奎屯王新敞新疆因此，如果)(xfy在点0x可导，则曲线)(xfy在点（)(,00xfx）处的切线方程为))(()(00/0xxxfxfy奎屯王新敞新疆3.导函数(导数):如果函数)(xfy在开区间),(ba内的每点处都有导数，此时对于每一个),(bax，都对应着一个确定的导数)(/xf，从。

2、而构成了一个新的函数)(/xf,称这个函数)(/xf为函数)(xfy在开区间内的导函数，简称导数，4.可导:如果函数)(xfy在开区间),(ba内每一点都有导数，则称函数)(xfy在开区间),(ba内可导奎屯王新敞新疆5.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续，反之不成立.函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数)(xfy的导数的一般方法：（1）求函数的改变量)()(xfxxfy奎屯王新敞新疆（2）求平均变化率xxfxxfxy)()(奎屯王新敞新疆（3）取极限，得导数/y＝()fxxyx0lim奎屯王新敞新疆7.常见函数的导数公式：0'C；1)'(nnnxx；xxcos)'(sin；xxsin)'(cos奎屯王新敞新疆8.法则1)()()]()(['''xvxuxvxu．法则2[()()]'()()()'()uxvxuxvxuxvx,[()]'()CuxCux奎屯王新敞新疆二、讲解新课：法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，。

3、减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方，即'2''(0)uuvuvvvv证明：令)()()(xvxuxfy，])()([xxvxxuy)()(xvxu)()()()()()(xvxxvxxvxuxvxxu)()()]()()[()()]()([xvxxvxvxxvxuxvxuxxu，∴)()()()()()()()(xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxuxy因为v(x)在点x处可导，所以v(x)在点x处连续．于是当0x时，v(x+x)v(x)．∴)()](lim[)lim()lim(lim0000xvxxvxvuvxuxyxxxx2''vuvvu即)0('''2'vvuvvuvuy．说明：⑴'''vuvu，2'''vuvvuvu；⑵若两个函数可导，则它们的和、差、积、商（商的情况下分母不为0）必可导．若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f(x)=sinx+。

4、x1、g(x)=cosx－x1，则f(x)、g(x)在x=0处均不可导，但它们的和f(x)+g(x)=sinx+cosx在x=0处可导奎屯王新敞新疆三、讲解范例：例1求y=xxsin2的导数.分析:这题可以直接利用商的导数法则.解：y′=(xxsin2)′=xxxxxxxxxx22222sincossin2)(sin)(sinsin)(例2求y=332xx在点x=3处的导数.分析:这题既要用到商的导数法则，还要用到和的导数法则.解：y′=(332xx)′2222)3()3)(3()3()3(xxxxx222222)3(36)3()3(23xxxxxxx∴y′|x=3=6114424)33(3363222奎屯王新敞新疆例3求y=x1·cosx的导数.分析:这道题可以看作两个函数的乘积，也可以看作两个函数的商，所以不同的看法有不同的做法.这道题可以用两种方法来求.解法一：y′=(x1·cosx)′=(x1)′cosx+x1(cosx)′xxxxxxxxxxxxxxxxx2sin2cossin12cossin1cos2。

5、1sin1cos)(32321解法二：y′=(x1·cosx)′=(xxcos)′xxxxxxxxxx21221cossin)()(cos)(cosxxxxxxxxxxxxxxx2sin2cos2cossin2cos21sin例4求y=cotx的导数.解：y′=(cotx)′=(xxsincos)′2)(sin)(sincossin)(cosxxxxxxxxxxxx222cscsin1sincoscossinsin例5求y=xx31的导数.解：y′=(xx31)′=2222)3()3)(1()3()1(xxxxx222222)3(32)3()2)(1(3xxxxxxx例6求y=xxsin12的导数.解：y′=(xxsin12)′222)(sin))(sin1(sin)1(xxxxxxxxxx22sincos)1(sin2例7求y=xxxcos423的导数.解：y′=(xxxcos423)′222323)cos()cos)(。

6、4(cos)4(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx233424524242322coscos)8(sin)4(cossinsin4cos8coscos)sincos2)(4(cos3四、课堂练习：1．填空：(1)2222)1()()1)(()1(xxxxx；(2)xxxxx222sin4))(1(sin)()sin21(解：(1)∵22222)1()1()1()1(xxxxxxx222)1()2()1)(1(xxxx(2)2222)sin2()sin2)(1(sin2)1()sin21(xxxxxxxxxxxxxxxxx2222sin4)cos2)(1(sin)4(sin4)cos2)(1(sin222.求下列函数的导数：(1)y=xaxa(2)y=232xx(3)y=tanx(4)y=xcos11解：(1)y′=(xaxa)′2)())(()()(xaxaxaxaxa22)(2)()()(xaaxaxa。

7、xa(2)y′=(232xx)′2222)3()3)(2()3()2(xxxxx342423491239)6)(2(3xxxxxxxxx(3)y′=(tanx)′=(xxcossin)′2)(cos)(cossincos)(sinxxxxxxxxxx22222seccos1cossincos(4)y′=(xcos11)′2)cos1()cos1(1)cos1(1xxx＝22)cos1(sin)cos1(sin)cos1(0xxxxx3.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正.222sin)cos1(2)cos1(xxxxxxx解：不正确，分母未平方，分子上正负号弄错.3342222222cos2sin)cos1(2sin)2)(cos1(sin)())(cos1()cos1()cos1(xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx注意：两个函数的乘积的导数的符号是加号，两个函数的商的导数分母是原分母的平方，分子上的符号是减号奎屯王新敞新疆五。

8、、小结：这节课主要学习了商的导数法则(vu)′=2vvuvu(v≠0)，如何综合运用函数的和、差、积、商的导数法则，来求一些复杂函数的导数.要将和、差、积、商的导数法则记住奎屯王新敞新疆六、课后作业：奎屯王新敞新疆七、板书设计（略）奎屯王新敞新疆八、课后记：奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆。