高中数学-必修四-正弦定理与余弦定理-全套教案(知识讲解+经典例题+巩固练习+答案)

正弦定理【学习目标】1.通过对直角三角形边角间数量关系的研究，发现正弦定理，初步学会运用由特殊到一般的思维方法发现数学规律；2.会利用正弦定理解决两类解三角形的问题；（1）已知两角和任意一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而求出其它边角）.【要点梳理】要点一：学过的三角形知识1.ABC中（1）一般约定：ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c；（2）0180ABC；（3）大边对大角，大角对大边，即BCbc；等边对等角，等角对等边，即BCbc；（4）两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即acb，acb.2.RtABC中，090C，（1）090BA，（2）222abc（3）sinaAc，sinbBc，sin1C；cosbAc，cosaBc，cos0C要点二：正弦定理及其证明正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即：sinsinsinabcABC直角三角形中的正弦定理的推导证明：sinaAc，sinbBc，sin1C，即：sinacA，sinbcB，sinccC，∴sinsinsinabcABC．斜三角形中的正弦定理的推导证明：法一：向量法（1）当ABC为锐角三角形时过A作单位向量j垂直于AC，则AC+CB=AB两边同乘以单位向量j，得j(AC+CB)=jAB，即jACjCBjAB∴0||||cos90||||cos(90)||||cos(90)jACjCBCjABA，∵0jAC，||1j，||CBa，||ABc，cos(90)sinCC，cos(90)sinAA∴AcCasinsin，∴sinsinacAC，同理：若过C作j垂直于CB得：sinsinbcBC∴sinsinsinabcABC，（2）当ABC为钝角三角形时设90A，过A作单位向量j垂直于向量AC，同样可证得：sinsinsinabcABC．法二：圆转化法（1）当ABC为锐角三角形时如图，圆O是ABC的外接圆，直径为2ADR，则CD，∴sinsin2cCDR，∴2sincRC（R为ABC的外接圆半径）同理：2sinaRA，2sinbRB故：2sinsinsinabcRABC（2）当ABC为钝角三角形时如图，sinsinsin2aAEFR.法三：面积法任意斜ABC中，如图作CHAB，则sinCHACA111sinsin222ABCSABCHABACAbcA同理：1sin2ABCSabC，1sin2ABCSacB故111sinsinsin222ABCSabCacBbcA，两边同除以abc21即得：sinsinsinabcABC要点诠释：（1）正弦定理适合于任何三角形；（2）可以证明2sinsinsinabcRABC（R为ABC的外接圆半径）；（3）每个等式可视为一个方程：知三求一。（4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角；②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边。要点三：解三角形的概念一般地，我们把三角形的各内角以及它们所对的边叫做三角形的几何元素.任何一个三角形都有六个元素：三边、和三角.在三角形中，由已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形.有了关于解三角形的有关定理（如勾股定理、三角形的内角和定理、正弦定理，还有即将学习的余弦定理等），三角学特别是测量学得到了一次飞跃，它可以由已知的三角形的边和角来推断未知的边和角.要点四：正弦定理在解三角形中的应用利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角；要点诠释：已知a，b和A，用正弦定理求B时的各种情况；(1)若A为锐角时：absinAabsinA()bsinAab()ab()无解一解直角二解一锐，一钝一解锐角如图：(2)若A为直角或钝角时：abab()无解一解锐角判断三角形形状判断三角形形状的思路通常有以下两种：（1）化边为角；（2）化角为边.对条件实施转化时，考虑角的关系，主要有：①两角是否相等？②三个角是否相等？（3）有无直角、钝角？考查边的关系，主要有：①两边是否相等？②三边是否相等.要点诠释：对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路。但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论，从而舍掉不合理的解。比如下面例2两种方法不同，因此从不同角度来对解进行讨论。此外，有的时候还要对边角关系（例如，大边对大角）进行讨论从而舍掉不合理的解.【典型例题】类型一：正弦定理的简单应用：【高清课堂：正弦定理376682例1】例1．已知在ABC中，10c，45A，30C，求,ab和B.【答案】102,5652,105abB【解析】sinsinacAC，∴sin10sin45102sinsin30cAaC，∴180()105BAC，又sinsinbcBC，∴sin10sin1056220sin75205652sinsin304cBbC．【总结升华】1.正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2.数形结合将已知条件表示在示意图形上，可以清楚地看出已知与求之间的关系，从而恰当地选择解答方式.举一反三：【变式1】（2015广东高考）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若13,sin,26aBC，则b=________.【答案】656,21sin或BB，又6C，故6B，所以32A由正弦定理得，BbAasinsin，所以b=1。【变式2】在ABC中，已知sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc【答案】根据正弦定理sinsinsinabcABC，得::sin:sin:sin1:2:3abcABC.【高清课堂：正弦定理376682例2】例2．在3,60,1ABCbBc中，，求a和A，C．【解析】由正弦定理得：sinsinbcBC，∴sin1sin601sin23cBCb，（方法一）∵0180C，∴30C或150C，当150C时，210180BC，（舍去）；当30C时，90A，∴222abc．（方法二）∵bc，60B，∴CB，∴60C即C为锐角，∴30C，90A【总结升华】1.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题。2.在利用正弦定理求角C时，因为0sinsin(180)CC，所以要依据题意准确确定角C的范围，再求出角C.3.一般依据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍.举一反三：【变式1】在ABC中，6c，45A，2a，求b和,BC．【答案】∵sinsinacAC，∴sin6sin453sin22cACa，∵0180C，∴60C或120C∴当60C时，75B，sin6sin7531sinsin60cBbC；∴当120C时，15B，sin6sin1531sinsin60cBbC；所以，31,75,60bBC或31,15,120bBC．【变式2】在ABC中20a,210b,45A,求B和c；【答案】∵102sin45sinoaB，∴1sin2B∵0180B，∴30B或150B①当30B时，105C，)13(10c；②当150B时，195180AB（舍去）。【变式3】在ABC中，60B，14a,76b,求A.【答案】由正弦定理，得226760sin14sinsin0bBaA.∵ab,∴AB，即060A∴45A类型二：正弦定理的综合运用3.（2015湖南高考文）设ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,tanabcabA。（I）证明：sincosBA；(II)若3sinsincos4CAB，且B为钝角，求,,ABC。【答案】（I）略；(II)30,120,30.ABC【思路点拨】（I）由题根据正弦定理结合所给已知条件可得sinsincossinAAAB，所以sincosBA；(II)根据两角和公式化简所给条件可得3sinsincoscossin4CABAB，可得23sin4B，结合所给角B的范围可得角B,进而可得角A,由三角形内角和可得角C.【解析】（I）由tanabA及正弦定理，得sinsincossinAaAAbB，所以sincosBA。（II）因为sinsincossin[180()]sincosCABABABsin()sincossincoscossinsincoscossinABABABABABAB3cossin4AB有（Ｉ）知sincosBA，因此23sin4B，又Ｂ为钝角，所以3sin2B，故120B，由3cossin2AB知30A，从而180()30CAB，综上所述，30,120,30.ABC【总结升华】本题主要考查正弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查综合运用知识解决问题的能力。举一反三：【变式】在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边的长为________．【答案】在△ABC中，大角对大边，故b为最大边长，A＝180°－(B＋C)＝180°－(105°＋15°)＝60°.据正弦定理00sin5sin10515256sinsin606aBbA.类型三：利用正弦定理判断三角形的形状例4.在ABC中，若22tan:tan:,ABab试判断ABC的形状.【解析】由已知条件及正弦定理可得22sincossincossinsinABAABB，,AB为三角形的内角，sin0,sin0AB，BA2sin2sin，BABA2222或AB或2AB，所以ABC为等腰三角形或直角三角形。【总结升华】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等变换求出三条边之间的关系式。举一反三：【变式】在△ABC中，若,coscoscosCcBbAa则△ABC的形状是什么？【答案】coscoscos,sincossincossincosaAbBcCAABBCCsin2sin2sin2,2sin()cos()2sincosABCABABCCcos()cos(),2coscos0ABABABcos0A或cos0B，得2A或2B所以△ABC是直角三角形。【巩固练习】一、选择题：1．在△ABC中，已知a＝52，c＝10，A＝30°，则B＝()A．105°B．60°C．15°D．105°或15°2．在△ABC中，a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于()A．25B.5C．25或5D．以上都不对3．以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是()A．在△ABC中，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则a＝bC．在△ABC中，若sinAsinB，则AB；若AB，则sinAsinB都成立D．在△ABC中，sinsinsinabcABC4．若sincoscosABCabc，则△ABC是()A．等边三角形B．直角三角形，且有一个角是30°C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一个角是30°5．判断下列说法，其中正确的是()A．a＝7，b＝14，A＝30°有两解B．a＝30，b＝25，A＝150°只有一解C．a＝6，b＝9，A＝45°有两解D．b＝9，c＝10，B＝60°无解二、填空题：6.（2015