二项分布及其应用

二项分布及其应用1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n次独立重复试验的模型及二项分布．3能解决一些简单的实际问题．1．条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做，用符号来表示，其公式为P(B|A)＝.条件概率P(B|A)PABPA(2)条件概率具有的性质：①，②如果B和C是两件互斥事件，则P(B∪C|A)＝．2．相互独立事件(1)对于事件A、B，若A的发生与B的发生互不影响，则称．0≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)A、B是相互独立事件(2)若A与B相互独立，则P(B|A)＝，P(AB)＝(4)若P(AB)＝P(A)P(B)，P(B)P(B|A)·P(A)＝P(A)·P(B)．(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立．则A与B相互独立．3．二项分布如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(ξ＝k)＝，其中k＝0,1,2,3，…，n，q＝1－p.于是得到随机变量ξ的概率分布列如下：Cnkpkqn－kξ01…k…nPCn0p0qnCn1p1qn－1…Cnkpkqn－k…Cnnpnq0由于Cnkpkqn－k恰好是二项展开式(q＋p)n＝Cn0p0qn＋Cn1p1qn－1＋…＋＋…＋Cnnpnq0中的第k＋1项(k＝0,1,2，…，n)，故称为随机变量ξ为二项分布，记作ξ～B(n，p)．Cnkpkqn－k1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率为23，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概率为()A.12B．1C.1112D.56解析：P＝34×13＋14×23＋34×23＝1112.答案：C2．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的记录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为()A．0.6B．0.7C．0.8D．0.66答案：A解析：甲市为雨天记为A，乙市为雨天记为B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝PABPA＝0.120.2＝0.63．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()A．[0.4,1]B．(0,0.4]C．(0,0.6]D．[0.6,1)答案：A解析：C41p11－p3≤C42p21－p20≤p≤1⇒0.4≤p≤1.4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为6581，则事件A在1次试验中出现的概率为________．解析：A至少发生一次的概率为6581，则A的对立事件A：事件A都不发生的概率为1－6581＝1681＝(23)4，所以，A在一次试验中出现的概率为1－23＝13.答案：135．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率为a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品是彼此无关的，那么产品的合格率是________．解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1.答案：ab－a－b＋1热点之一条件概率1．利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝PABPA.2．借助古典概型概率公式，先求事件A包括的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝nABnA.[例1]一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个小孩是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是多少？[课堂记录]解法一：基本事件的全体Ω＝{男男，男女，女男，女女}，记事件A为有一个女孩，则P(A)＝34，记事件B为另一个是男孩，则AB就是事件一个男孩一个女孩，P(AB)＝12，故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率P(B|A)＝PABPA＝1234＝23.解法二：记有一个女孩的基本事件的全体Ω＝{男女，女男，女女}，则另一个是男孩含有基本事件2个，故这个概率是23.即时训练在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．解析：设A＝{第一次取到不合格品}，B＝{第二次取到不合格品}，则P(AB)＝C52C1002，所以P(B|A)＝PABPA＝5100×4995100＝499.答案：499热点之二相互独立事件1．相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件不会同时发生．2．在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A、B，它们的概率分别为P(A)、P(B)，则zA、B中至少有一个发生的事件为A∪B；A、B都发生的事件为AB；A、B都不发生的事件为AB；A、B恰有一个发生的事件为AB∪AB；A、B中至多有一个发生的事件为AB∪AB∪AB.[例2]某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为45、35、25、15，且各轮问题能否正确回答互不影响．(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率．[课堂记录](1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai(i＝1,2,3,4)，则P(A1)＝45，P(A2)＝35，P(A3)＝25，P(A4)＝15，∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率P4＝P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＝45×35×25×45＝96625.(2)该选手至多进入第三轮考核的概率P3＝P(A1＋A1A2＋A1A2A3)＝P(A1)＋P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝15＋45×25＋45×35×35＝101125.即时训练某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”，则给予5万元的资助；若未获得“支持”，则不予资助．求：(1)该公司的资助总额为零的概率；(2)该公司的资助总额超过15万元的概率．解：(1)设A表示“资助总额为零”这个事件，则P(A)＝(12)6＝164.(2)设B表示“资助总额超过15万元”这个事件，则P(B)＝15×(12)6＋6×(12)6＋(12)6＝1132.热点之三独立重复试验与二项分布1．独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．2．二项分布是离散型随机变量的分布列中重要的一种模型，应用非常广泛，也是高考考查的重点，把握二项分布的关键是理解好独立重复试验及问题研究的随机变量究竟是什么．[例3]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A＝a1a2a3a4a5，其中A的各位数中，a1＝1，ak(k＝2,3,4,5)出现0的概率为13，出现1的概率为23.记ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，当程序运行一次时，(1)求ξ＝3的概率；(2)求ξ的分布列．[课堂记录](1)已知a1＝1，要使ξ＝3，只需后四位中出现2个1和2个0.∴P(ξ＝3)＝C42(23)2(13)2＝827.(2)令η＝a2＋a3＋a4＋a5，∴η＝0,1,2,3,4.易知η～B(4，23)，ξ＝η＋1，∴ξ的可能取值为1,2,3,4,5.P(ξ＝1)＝P(η＝0)＝C40(23)0(13)4＝181.P(ξ＝2)＝P(η＝1)＝C41(23)1(13)3＝881.P(ξ＝3)＝P(η＝2)＝C42(23)2(13)2＝827.P(ξ＝4)＝P(η＝3)＝C43(23)3(13)1＝3281.P(ξ＝5)＝P(η＝4)＝C44(23)4(13)0＝1681.∴ξ的分布列为ξ12345P18188182732811681即时训练抛掷两个骰子，当至少有一个5点或一个6点出现时，就说这次试验成功，求在5次试验中成功次数η的分布列．解：一次试验成功的概率为1－(1－13)·(1－13)＝59.所以η服从二项分布，η～B(5，59)，因此随机变量η的分布列为η012pC50·(49)5C51(49)4·59C52(49)3·(59)2345C53(49)2·(59)3C54(49)·(59)4C55(59)5相互独立事件与独立重复试验事件的概率问题一直是高考的重点，多在解答题中以实际问题为背景，结合离散型随机变量的分布列的求法综合考查．同时也考查考生分析问题解决问题的能力及运算能力，具有一定的区分度．[例4](2010·天津高考)某射手每次射击击中目标的概率是23，且各次射击的结果互不影响．(1)假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率；(2)假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率；(3)假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分．在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1次．若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总得分数，求ξ的分布列．[解](1)设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5，23)．在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X＝2)＝C52×(23)2×(1－23)3＝40243.(2)设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i＝1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)＝P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＋P(A1A2A3A4A5)＝(23)3×(13)2＋13×(23)3×13＋(13)2×(23)3＝881.(3)由题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝(13)3＝127；P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝23×(13)2＋13×23×13＋(13)2×23＝29；P(ξ＝2)＝P(A1A2A3)＝23×13×23＝427；P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝(23)2×13＋13×(23)2＝827；P(ξ＝6)＝P(A1A2A3)＝(23)3＝827.所以ξ的分布列是ξ01236P127294278278271．(2010·北京高考)某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p、q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望Eξ.解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i＝1,2,3.由题意知P(A1)＝45，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(ξ＝0)＝1－6125＝119125.(2)由题意知P(ξ＝0)＝P(A1A2A3)＝15(1－p)(1－q)＝6125，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝45pq＝24125.整理得pq＝625，p＋q＝1.由pq，可得p＝35，q＝25.(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝45(1－p)(1－q)＋15p(1－q)＋15(1－p)q＝37125.b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝58125.Eξ＝0×P(ξ＝0)＋