课题：平面向量的数量积及运算律(第一课时)教学设计

第1页共7页1课题：平面向量的数量积及运算律（第一课时）教学设计◆一、课标分析本课内容选自普通高中课程标准实验教科书数学必修4（人教A版）§2.4平面向量的数量积的第一课时,本课主要内容是向量的数量积的定义及运算律,本节课让学生了解从特殊到一般再由一般到特殊的这种认识规律和体会概念法则的学习过程.◆二、教材分析丰富多彩的背景，引人入胜的内容，教材首先从力，位移等量讲清楚向量的实际背景以及研究向量的必要性，接着介绍了平面向量的有关知识。学生将了解向量丰富的实际背景。理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言与方法表述和解决数学、物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础，从学生熟知的功德概念出发，引出了平面向量的数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示。向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题。最后介绍了平面向量的应用。◆三、教材建议分析本章充分体现出新教材特点。以学生已有的物理知识和几何内容为背景，直观介绍向量的内容，注重向量运算与数的运算比较，特别注意知识的发生过程。对概念、法则、公式、定理等的处理主要通过观察、比较、分析、综合、抽象、概括得出结论。这一章的内容虽然概念多，但大都有其物理上的来源，虽然抽象，却与图形有着紧密的联系，向量应用的优越性也是非常明显的。全新的思维视角，恰当的教与学，使得向量不仅生动有趣，而且是培养学生创新精神与能力的极佳契机。◆四、教学目标▼（一）知识目标1奎屯王新敞新疆平面向量数量积的定义及几何意义；2平面向量数量积的运算律；3奎屯王新敞新疆平面向量数量积的5个重要性质。▼（二）能力目标1．掌握数量积的定义、5个重要性质及运算律；2．能应用数量积的5个重要性质及运算律解决问题；3．了解用平面向量数量积可以解决长度、角度、垂直共线等问题，为下节课灵活运用平面向量数量积解决问题打好基础。▼（三）情感目标创设适当的问题情境，从生活中的常见现象引入课题，开始就激发学生的学习兴趣，让学生容易切入课题，培养学生用数学的意识，体现新课程改革的理念之一，加强数学与其它学科及生活实践的联系。◆五、教学难点平面向量数量积运算律的理解；与实数运算律的区别和联系；平面向量数量积在解决长度、角度等问题的运用。◆六、教学重点平面向量数量积的定义和运算律的应用。第1页共7页2◆七、教学手段：在多媒体环境下，老师引导、启发和激励学生大胆参与活动和讨论的民主式的教学。◆八、教学过程●（一）、新课引入——为什么定义平面向量数量积在物理学中学过功的概念，一个物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所作的功W=FScosθ。思考：W是什么量？F和S是什么量？和向量有什么关系？W是标量（实数），F和S是矢量（向量）这个式子建立了实数和向量之间的关系，是实数和向量互相转化的桥梁。我们学过的向量运算ab,ab,a结果都是向量。因此定义一个新的运算，不仅是物理学的需要，也是数学建立起实数和向量两个不同领域关系的需要。●（二）、新课学习★新课学习阶梯一——怎么定义平面向量数量积思考：模仿物理学功的定义：ababcos思考：由数学中对称的思想，有余弦出没的地方就少不了正弦的陪伴，可否定义a*babsin，有什么几何意义？引导学生阅读课本P118，找出数学定义的特点：针对两个非零向量定义，规定零向量与任意向量的数量积为0。1．两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角奎屯王新敞新疆（右图的夹角分别是什么）2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cos叫a与b的数量积，记作ab，即有ab=|a||b|cos，（０≤θ≤π）奎屯王新敞新疆并规定0与任何向量的数量积为0奎屯王新敞新疆思考：功怎么用数量积表示：FS数学的定义从实践中来，又回到实践指导实践。★新课学习阶梯二——怎么全方位认识这个定义学习数学两手都要硬，一手抓代数、一手抓几何，渗透数形结合的思想方法，而向量恰好是用量化的方法研究几何问题的最佳工具。FSθABOabθABOabθ第1页共7页31几何意义：“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影奎屯王新敞新疆思考：投影是否是长度？投影是否是向量？投影是否是实数？投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0；当=0时投影为|b|；当=180时投影为|b|奎屯王新敞新疆几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积奎屯王新敞新疆2．代数性质（两个向量的数量积的性质）：（1）两个非零向量a与b，abab=0（此性质可以解决几何中的垂直问题）；（2）两个非零向量a与b，当a与b同向时，ab=|a||b|；当a与b反向时，ab=|a||b|奎屯王新敞新疆（此性质可以解决直线的平行、点共线、向量的共线问题）；（3）cos=||||abab（此性质可以解决向量的夹角问题）；（4）aa=|a|2，||aaa，ababcos（此性质可以解决长度问题即向量的模的问题）；（5）|ab|≤|a||b|（此性质要注意和绝对值的性质区别，可以解决不等式的有关问题）；3．任何一种运算都满足一定的运算律，以方便运算，数量积满足哪些算律？实数的运算律向量数量积运算律（交换律）ab=baab?ba√（结合律）(ab)c=a(bc)(ab)c?a(bc)×（分配律）a(b+c)=ab+aca(bc)?abac√(a)b?(ab)?a(b)√第1页共7页4思考：运用对比联想的思想方法猜测向量数量积保留了实数哪些运算律，变异了哪些运算律？课下对成立的运算律给出证明，对不成立的运算律举出反例。从性质的分析知道，数量积是应用非常广泛和灵活的，涉及代数和几何甚至跨学科的知识，因此学习数量积是为了能够应用它解决问题。★新课学习阶梯三——怎样用定义、性质解决问题（范例讲解）例1．（巩固概念）判断下列各题正确与否：（1）若a=0，则对任一向量b，有ab=0奎屯王新敞新疆(√)（2）若a0，则对任一非零向量b，有ab0奎屯王新敞新疆(×)（3）若a0，ab=0，则b=0奎屯王新敞新疆(×)（4）若ab=0，则a、b至少有一个为零奎屯王新敞新疆(×)（5）若a0，ab=ac，则b=c奎屯王新敞新疆(×)（6）若ab=ac，则b=c当且仅当a0时成立奎屯王新敞新疆(×)（7）对任意向量a、b、c，有(ab)ca(bc)奎屯王新敞新疆(×)（8）对任意向量a，有a2=|a|2奎屯王新敞新疆(√)例2．（课本P118）已知a=5，b=4，向量a与b夹角是1200，求ab（课本资源升华）学生回答：ab=－10（以下变形向量a与b均为非零向量）变形1：已知a=5，b=4，向量a与b夹角是1200，求ab思考：求长度，怎样将长度和数量积建立起关系？ab2=22(ab)(ab)ab2ab=25+16－10=21，所以ab=21。变形2：已知三角形ABC的边AB=5，BC=4，∠ABC=1200，求边AC。启发：这个问题看似和向量无关，要想运用向量的知识，必须构造向量，突破点是如何构造向量。提问学生或老师讲解：ACABBC，222ACABBC2ABBC=25+16+2×5×4×cos600=61,AC=61思考：已知三角形两边一夹角一定可求第三边吗？第1页共7页5变形3：已知三角形ABC的边AB=5，BC=4，sin∠ABC=35,求边AC。思考：已知正弦值，如何求余弦值，几解？变形4：已知a=5，b=4，ab=21，求向量a与b的夹角。思考：建立长度和角度的关系是数量积的一个重要功能，先求ab。变形5：已知a=5，b=4，a在b上的投影是－2，求ab及a与b的夹角。变形6：已知ab=5，ab=4，求ab。思考：求数量积，怎样将长度和数量积建立起关系？ab2=22(ab)(ab)ab2ab=25，ab2=22(ab)(ab)ab2ab=16，两式相减得：4ab=9，ab=94点评：解决该问题，不仅局限于长度和数量积的关系，还运用了方程这一代数味很浓的思想。变形7：已知ab=ab=4，求ab；能求向量a与b的夹角吗？能求a吗？若不能求，你能补充一个合适的条件求出a吗？启发：除了用数量积的运算性质求出ab，你还能从向量加减法运算的几何意义给出解释吗？变形8：已知a=5，b=4，向量a与b夹角是1200，求使向量ab与ab的夹角是锐角的实数λ的取值范围。思考：夹角是锐角如何用数量积体现？（ab）（ab）0变形9：向量a与b都是非零向量，且a3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求向量a与b的夹角奎屯王新敞新疆解：由(a+3b)(7a5b)=07a2+16ab15b2=0①(a4b)(7a2b)=07a230ab+8b2=0②两式相减：2ab=b2代入①或②得：a2=b2第1页共7页6设a、b的夹角为，则cos=2212||||2||abbabb∴=60通过以上问题的变式探究：问题涉及无非是向量的模（长度）、向量的夹角（三角形或多边形的内角或其补角）、数量积三个量的关系。这是向量数量积定义的灵魂，同时，数量积运算也是沟通实数和向量的桥梁。★新课学习阶梯四——课堂练习1奎屯王新敞新疆|a|=3,|b|=4,向量a+43b与a-43b的位置关系为（）A奎屯王新敞新疆平行B奎屯王新敞新疆C奎屯王新敞新疆夹角为3D奎屯王新敞新疆不平行也不垂直2奎屯王新敞新疆已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|=______,|a-b|=奎屯王新敞新疆3奎屯王新敞新疆设|a|=3,|b|=5,且a+λb与a－λb垂直，则λ＝奎屯王新敞新疆★新课学习阶梯五——学会小结1、教师引导，学生自我归纳。先由学生回顾本节学习的数学知识，数量积的定义、几何意义，数量积德重要性质，数量积的运算律。2、教师与学生总结本节学习的数学方法，归纳类比、定义法、数形结合等，在领悟数学思想方法的同时，鼓励学生多角度、发散性地思考问题，并鼓励学生进行一题多解。★新课学习阶梯六——创造性学习（备用）如图P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PFAE是矩形，猜猜：不论P点位置如何，PC和EF是否总相等且垂直？提示：这是一个平几问题，没有向量的踪迹，怎样构造向量、创造性地运用数量积运算解决？思考：如何建立基向量；将PC和EF看成向量，用基向量表示；计算PC,EF是否相等；计算PCEF是否为零。解析：设DA=a，DC=b，则DB=a+b，设DP=λ（a+b），CPCDDP=－b+λ（a+b）=λa+（λ－1）b，显然DF=λDA=λa，FA(1)a，则EF=EP+PD+DF=（λ－1）a－λ（a+b）+λa=（λ－1）a－λb则CP2=（λa+（λ－1）b）2=λ2a2+（λ－1）2b2，EF2=（（λ－1）a－λb）2=（λ－1）2a2+λ2b2，又ABCD是正方形，a2=b2，所以CP2=EF2，EFBCDAP第1页共7页7EFCP=（（λ－1）a－λb）（λa+（λ－1）b）=（λ－1）λa2－λ（λ－1）b2=0，所以PC和EF总是相等且垂