分组分配问题(上课用)

一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同的对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。1把abcd分成平均两组abcdacbdadbc有_____多少种分法？C42C22A223cdbdbcadacab这两个在分组时只能算一个记住：平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要除以m!，其中m表示组数。引旧育新1、平均分组问题：n个不同元素平均分成m组，每组k个元素，则分组的方法:例1.有两本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？有三本不同的书，平均分成三组有几种不同分法？有四本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？有六本不同的书，平均分成两组有几种不同分法？结论:n个不同元素平均分成m组，每组k个元素，则分组的方法为:2kkkknnknkkmmCCCCA平均分组二、基本的分组问题•例1六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？•(1)每组两本.•(2)一组一本，一组二本，一组三本.•(3)一组四本，另外两组各一本.22264233115()CCCA123653(2)60CCC41162122315()CCCA•通过以上三个小题的分析，我们可以得出分组问题的一般方法：•结论1：一般地，n个不同的元素分成p组，各组内元素数目分别为m，m，…，m，其中k组内元素数目相等，那么分组方法数是321112ppmmmmnnmnmmmkkCCCCA三、基本的分配的问题(一)定向分配问题例2六本不同的书，分给甲、乙、丙三人求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？（1）甲两本、乙两本、丙两本.（2）甲一本、乙两本、丙三本.（3）甲四本、乙一本、丙一本.分析：由于分配给三人，每人分几本是一定的,属分配问题中的定向分配问题，由分布计数原理不难解出：222642190()CCC123653(2)60CCC411621330()CCC(二)不定向分配问题例3六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每人两本.(2)一人一本、一人两本、一人三本.(3)一人四本、一人一本、一人一本.分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人，同一本书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，因此只要将分组方法数再乘以，33A2223642333190()CCCAA13235336360(2)ACCC4113621322390()CCCAA结论2.一般地，如果把不同的元素分配给几个不同对象，并且每个不同对象可接受的元素个数没有限制，那么实际上是先分组后排列的问题，即分组方案数乘以不同对象数的全排列数。•通过以上分析不难得出解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。例4六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是再考虑排列，即再乘以。所以一共有540种不同的分法。222411642621123653323290CCCCCCCCCAA33A四、分配问题的变形问题例5四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？11243222CCCA1124323422144CCCAA分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有3有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学，按下条件，各有多少种不同的分法？（1）每人各得两本；（2）甲得一本，乙得两本，丙得三本；（3）一人一本，一人两本，一人三本；（4）甲得四本，乙得一本，丙得一本；（5）一人四本，另两人各一本·(3)(4)(5)C52C33C61A33C52C33C61C21C11C64A31C21C11C64(2)C42C22C62(1)二.元素相同问题隔板策略例3.有10个运动员名额，再分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有___________种分法。一班二班三班四班五班六班七班69C将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为11mnC练习题10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？49C1应用：33A应用：