27.2.1-相似三角形的判定-第4课时

第二十七章相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结27.2.1相似三角形的判定第4课时两角分别相等的两个三角形相似学习目标1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理.2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并能进行相关计算.(重点、难点)3.掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行相关计算.学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？导入新课情境引入讲授新课问题一度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？CABA'B'C'两角分别相等的两个三角形相似一合作探究与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：这两个三角形是相似的证明：在△ABC的边AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE问题二试证明△A′B′C′∽△ABC.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'归纳：如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD证明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.练一练证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，∴∠C=180°－∠A－∠B=60°.∵在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.∴∠B=∠E，∠C=∠F.∴△ABC∽△DEF.例1如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°．求证：△ABC∽△DEF.ACBFED典例精析例2如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，求证：PA·PB=PC·PD.证明:连接AC，DB.∵∠A和∠D都是弧CB所对的圆周角，∴∠A=_______，同理∠C=_______，∴△PAC∽△PDB，∴______即PA·PB=PC·PD.∠D∠BPAPCPDPBODCBAP1.如图，在△ABC和△A'B'C'中，若∠A=60°，∠B=40°，∠A'=60°，当∠C'=时，△ABC∽△A'B'C'.练一练CABB'C'A'80°2.如图，⊙O的弦AB，CD相交于点P，若PA=3，PB=8，PC=4，则PD=.6ODCBAP∴ADAE.ACAB解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，∴△AED∽△ABC.判定两个直角三角形相似二例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE∴854.10ACAEADAB由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等.那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？思考：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=90°，∠C′=90°，.求证：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.ABACABACCAA'BB'C'要证明两个三角形相似，即是需要证明什么呢？目标：BCABACB'C'A'B'A'C'证明：设____________=k，则AB=kA′B′，AC=kA′B′.由，得∴＿＿＿＿＿＿＿＿.∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.22BCABAC，22.BCABAC.kBCkBCABACABAC勾股定理BCABACBCABACCBCAkBAkCBACABCBBC222222∴CAA'BB'C'由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.归纳：例3如图，已知：∠ACB=∠ADC=90°，AD=2，CD=，当AB的长为时，△ACB与△ADC相似．2CABD解析：∵∠ADC=90°，AD=2，CD=，要使这两个直角三角形相似，有两种情况：(1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时，有AC:AD＝AB:AC，即:2=AB:，解得AB=3；22222226.ACADCD∴66CABD22(2)当Rt△ACB∽Rt△CDA时，有AC:CD＝AB:AC，即:=AB:，解得AB=．∴当AB的长为3或时，这两个直角三角形相似．6263232CABD22在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.(1)∠A=35°，∠B′=55°：；(2)AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8：；(3)AB=10，AC=8，A′B′=25，B′C′=15：.练一练相似相似相似当堂练习1.如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对C2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于()A.154B.125C.203D.174ACABDEABDC3.如图，点D在AB上，当∠＝∠(或∠=∠)时，△ACD∽△ABC；ACDACBBADB4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D.若AB=6，AD=2，则AC=，BD=，BC=.18DBCA42122证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE=∠BFD(对顶角相等).∴△FEA∽△FDB，∴5.如图，△ABC的高AD、BE交于点F．求证：.AFEFBFFD.AFEFBFFDDCABEF证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠3+∠DAC，∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE.6.如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．ABCDE132O7.如图，BE是△ABC的外接圆O的直径，CD是△ABC的高，求证：AC·BC=BE·CD.ODCBAE证明：连接CE，则∠A=∠E.又∵BE是△ABC的外接圆O的直径，∴∠BCE=90°=∠ADC，∵∠A=∠E，∠BCE=∠ADC，∴△ACD∽△EBC.∴∴AC·BC=BE·CD.ACCDBEBC，1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论．BACB'A'C'已知：等腰△ABC和等腰△A'B'C'中，满足A'B'=A'C'，AB=AC且有∠B=∠B',求证:△ABC∽△A'B'C'证明：∵等腰三角形AB=AC∴∠B=∠C∴△ABC∽△A'B'C'∵等腰三角形A'B'=A'C'∴∠B'=∠C'又∵∠B=∠B',∴∠C=∠C'练习两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似课堂小结直角三角形相似的判定