点电荷对几种特殊形状平面的电通量

第34卷第1期广西物理GUANGXIPHYSICSVol.34No.1201331点电荷对几种特殊形状平面的电通量黄子洋1，黄晓东2†，李绍新2(1.华南理工大学机械与汽车工程学院，广东广州510640；2.华南理工大学理学院，广东广州510640)摘要：用面积分的方法代替传统的对称性分析方法，求解了点电荷对几种特殊形状平面的电通量问题，给出了普适的表达式。基于这些解析表达式，我们讨论了如下几点：点电荷相对平面处于几个特殊位置时的电通量；点电荷对无限大平面的电通量；点电荷处于平面上的极限情况下的电通量。这些重要结论将进一步明晰与丰富电通量问题的教学研究内容。关键词：点电荷；电通量；面积分中图分类号：O441文献标识码：A文章编号：1003-7551(2013)01-0031-081引言电通量是表征静电场分布的一个重要物理量，在理科电磁学课程和工科大学物理课程的学习中，熟练掌握电通量的概念和求解，是学习和应用高斯定理的重要环节[1]。当空间电场在曲面上的分布具有高度对称性时，利用高斯定理可方便的求出电通量及电场的分布情况，但当曲面上电场分布不均匀时，该曲面电通量的求解则显得困难。不均匀电场对复杂曲面的电通量，是一个具有物理趣味的问题，本文试图解决几种较简单的情况：点电荷对矩形平面、圆（椭圆）平面及三角形平面的电通量，由此提供一个求解电通量问题的新思路，并希望为基础物理教学中对电通量问题的讲述提供更坚实的基础。2数学积分方法求解电通量的定义e=dES为第二类曲面积分，因此我们可以尝试用曲面积分的方法求出电通量。2.1任意矩形平面的电通量设以点电荷所在位置为原点(0,0,0)建立坐标，如图1所示，对应的空间任一点电场强度图1求点电荷对矩形平面的电通量。以点电荷为原点建立直角坐标系，电荷与平面距离为|c|（当平面处于电荷上方0c，处于下方则0c），平面尺寸为1212,xxxyyy。2223/20()4π()qxyzxyzijkE，平面1212:,,zcxxxyyy，注意此时|c|为点电荷到平面的距离，平面法向量正向与z轴正向相同。由dddddddyzzxxySijk有2211e2223/22223/200ddddddd=dd4π()4π()xyxyqxyzyzxzxyqcyxxyzxycES，收稿日期：2013-02-14†通讯作者：[e-mail]点电荷对几种特殊形状平面的电通量32计算上式首先要计算形如223/2d()yyc的不定积分。令ππtan-22yc（），则2223/23322222dsecd111cosdsin=()secycyycccccyc。所以221121122222222222002111dd4π4πxxexxyyqcqcxxxcxcyxcyxc首先计算1，令2222tyc，则2121222220211d4πxxqcyxxtyxt，计算不定积分222222d()xxtyxt，可令tanxt，则2222222222222222d1arctan()()yxxxtyxtytytyxt故2212122222202212[arctan()arctan()]4πxyxyqcxyccxyc。同理可得2111222222202111[arctan()arctan()]4πxyxyqcxyccxyc。最后整理得到22122222220221211212222221121[arctan()arctan()4πarctan()arctan()]exyxyqcxyccxycxyxycxyccxyc(1)以上就是点电荷位置在(0,0,0)时，矩形表面1212:,,zcxxxyyy的电通量的表达式。该式具有普适的意义，只要知道点电荷与矩形平面的相对距离和平面的尺寸，就可使用(1)式直接得到电通量的值。2.2任意椭圆面的电通量设以点电荷所在位置为原点(0,0,0)建立坐标，如图2所示。为简单起见，我们令椭圆的中心与原点在同一平面坐标上（即椭圆中心坐标为(0,0,)c，若椭圆中心与原点的平面坐标不重合，则解析表达非常复杂）。图2求点电荷对椭圆面的电通量。以点电荷为原点建立直角坐标系，椭圆中心与电荷在同一平面坐标上，电荷与平面距离为|c|，椭圆长半轴为a，短半轴为b。在这种情况下，空间任一点电场强度2223/20()4π()qxyzxyzijkE，平面2222:,1xyzcab表示长半轴为a短半轴为b的椭圆，故电通量表达为22222223/22223/2001ddddddddd4π()4π()exyabqxyzyzxzxyqcxyxyzxycES第34卷第1期广西物理GUANGXIPHYSICSVol.34No.12013332π12222223/2000dd4π[(cossin)]cqabrrabrc120()4πabcqII其中2π1222221/20d2π(cossin)[]||Iabcabc，22π22222222221/22222222200d1d4(cossin)[(cossin)]()()uuIababcabuacbcu2I的积分没有原函数，故不能进一步表达，但是可以用计算机进行数值计算。所以处于原点的点电荷对中心在(0,0,)c点，长短半轴分别为,ab椭圆平面的电通量为222222222002π1d(4)4π||()()eabcquuabcabuacbcu(2)2.3任意位置圆面的电通量在该种情况下，点电荷位置在原点，如图3所示。圆心的平面坐标不与原点的平面坐标重合，在(,)mn上。图3求点电荷对圆面的电通量。以点电荷为原点建立直角坐标系，圆中心与电荷不在同一轴上，圆心平面坐标为(m,n)，电荷与平面距离为|c|，圆半径为R。因此积分平面成为222:,()()zcxmynR，电通量表达为2222223/20()()2π2223/2000222222222000dd4π()dd4π[(cos)(sin)](cossin)(cossin)1(cossin)d2||4π2(cossin)exmynRRqcxyxycqcrrrmrncmnRmnqcqcmncmncRmncRmnπ(3)(3)式中的积分也无法解析积出，具体计算时也可用计算机数值计算。注意到对上述(2)(3)两种情况，在(2)式中令abR，椭圆成为圆，即描述与平面坐标与圆心重合的点电荷对圆面的电通量，此时222222222220002π1d(4)()4π||2||()()eabcquuqccabccabuacbcuRc而令(3)式中0mn，即把圆心位置移到与点电荷同轴处，得22222π2222220000(cossin)(cossin)1(cossin)d()24π2||2(cossin)emnRmnqcqcqccmncmnccRmncRmnRc(4)点电荷对几种特殊形状平面的电通量34两者结果一样，(4)式就是点电荷平面坐标与圆心平面坐标重合时对半径为R的圆平面的电通量。2.4任意三角形平面的电通量这种情形的计算非常复杂，设平面如图4，若已知两边长度,lk及其夹角，则通过关系sinsin()kl，角也可知。点电荷对边界为三角形的平面的电通量只与三角形的形状和与点电荷的相对位置有关，而与坐标系无关，因此，为了计算简便，建立如下坐标系：以点电荷所在位置为原点，x轴平行于三角形的l边，则三角形顶点坐标为00,xy。如前，得电通量为图4求点电荷对三角面的电通量。(a)以点电荷为原点建立直角坐标系，三角形两边长为,lk，其夹角为，对应顶点为00(,)xy，长为l的边与x轴平行，电荷与平面距离为|c|。(b)三角形面的积分区域及其上下限。2223/20dd4π()eDqcxyxyc积分在区域D上进行，如图4(b)所示，先固定y值对x积分，根据三角关系x积分的上下限为0000,tantanyyyyxxl，而y的上下限为00,sinyyk，因此电通量积分为000000sintan12342223/200tandd()4π()4πyyxlykyyeyxqcxcqyIIIIxyc(5)具体到1234,,,IIII的表达式比较复杂，附录1给出了我们的具体计算结果。在上述三角形平面的基础上推广，计算任意平行四边形的电通量时，平行四边形积分区域中y值的上下限不改变，而角就变成，固定y值时，x积分的上下限就成为0000,tantanyyyyxxl，可见，只需把(5)式中的换成，则可得该平行四边形电通量（具体计算时，即把附录的结果中原来是的地方不变，而是的地方换成则可）。更进一步，我们令(5)式中的π2，即0000000000sintan2223/22223/200tandddd4π()4π()yyykxlykxlyyeyyxxqcxcqxyyxycxyc若令10201020,,,xxxxlyyyyk该式的计算结果正好是(1)式，即矩形平面电通量的结果。3讨论3.1几个特殊位置的电通量对矩形平面，在教学中，一般会用以下典型问题考察学生对高斯定理的理解：如图5(a)所示，一点电荷q位于某正方体顶角上，则其相对体表平面（面abcd）上电通量的解法为：第34卷第1期广西物理GUANGXIPHYSICSVol.34No.1201335图5(a)点电荷q处于顶角位置，求该电荷产生的场强对abcd面的电通量。(b)以点电荷q所在位置为中心，补充七个正方体组成一个大正方体，根据对称性可求得abcd面的电通量。利用式(1)，以点电荷为原点，建立如图5(a)坐标系，平面尺寸取1212(,,,)(0,,0,),(,0,0,),(,0,,0),(0,,,0)xxyyaaaaaaaa时（即电荷在立方体的顶角位置）的电通量。代入数据，四种情况下都有001[arctan()]4π243eqq，与对称性分析得到的结果一致[2]。这是由于正方体上四个顶角的位置相对于顶面具有空间对称性，则电通量都相等；当点电荷在立方体中心，此时有1212,,,xaxayaya（注意此时正方体边长为2a），001[4arctan()]4π63eqq，与高斯定理得到的结果相同。另外有一个特殊情况就是0c但点电荷在平面的外延，不在平面范围内，即120xx或120yy，则表达式的四项反正切函数总可分成两组，如当120xx时有2212222222002212limarctan()limarctan()ccxyxycxyccxyc，而同理其余两项也相等，相等两项相减，故当点电荷在平面的外延，0c时总有0lim0ec。这是由于平面上的电场强度与平面的法向量处处垂直，即没有电场线穿过平面，此时0e。3.2无限大平面的电通量对矩形平面，在(1)式中，若0c，当1212,,,xxyy，则平面变为无限大平面，于是电通量为112211222212112122222222222202212112100limlim[arctan()arctan()arctan()arctan()]4πππππ[(