第2章一元二次方程(各节知识点及典型例题)

1第2章一元二次方程五大知识点：1、一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式、一元二次方程的解的概念及应用2、一元二次方程的四种解法（因式分解法、开平方法和配方法、配方法的拓展运用、公式法）3、根的判别式4、一元二次方程的应用（销售问题和增长率问题、面积问题和动态问题）5、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）【课本相关知识点】1、一元二次方程：只含有未知数，并且未和数的是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。2、能使一元二次方程的未知数的值叫做一元二次方程的解（或根）3、一元二次方程的一般形式：任何一个一元二次方程经过化简、整理都可以转化为的形式，这个形式叫做一元二次方程的一般形式。其中ax2是，a是，bx是，b是，c是常数项【典型例题】【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a为何值时，关于x的方程（a-1）x|a|+1+2x-7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x的一元二次方程（a-1）x2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a的值为（）A．-1B．0C．-1D．-1或1例2、已知多项式ax2-bx+c，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b的值（2）直接写出关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x的方程（k2-1）x2-（k+1）x-2=0（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。【课本相关知识点】（一）1、利用因式分解的方法实现“降次”，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的方法，叫做因式分解法。2、因式分解法的理论依据是：若ab=0，则或3、利用因式分解法解一元二次方程的步骤是：（1）将方程的化为0；（2）把方程的另一边分解成的乘积（3）令每个因式，得到两个一元一次方程；（4）分别解这两个一元一次方程，即可得到原一元二次方程的解。【若题中要求你用因式分解法解一元二次方程，只需要掌握两种分解因式的方法：①提公因式法分解因式；②用完全平方公式或平方差公式来分解因式】（二）4、开平方法：一般地，对于形如x2=a（a≥0）的方程，根据的定义，解得x1=,x2=,这种解一元二次方程的方法叫做开平方法。5、①形如x2=a（a≥0）或(x-a)2=b（b≥0）的一元二次方程，都可以用直接开平方法求得方程的解②用直接开平方法解方程(x-a)2=b（b≥0）得x1=，x2=（三）6、配方法：把一元二次方程的左边配成一个式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。7、利用配方法解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一般形式（2）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数化为1（3）移项：把常数项移到方程右边，使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项（4）配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，使左边配成完全平方式（5）求解：若方程的右边是非负数，就用开平方法求解；如果右边是个负数，就可以直接拉出原方程无实数解（四）8、一元二次方程的求根公式：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O），如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根是，这个公式叫做一元二次方程的求根公式。9、公式法：利用求根公式，我们可以由一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）的值，直接求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。10、利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）把方程化成（2）确定的值（可以在大脑中确定，也可以在做题时写在题目中）（3）求出的值（4）若b2-4ac＜0，则方程无实数解；若，则将a,b,c和b2-4ac代入公式x=242bbaca，求出方程和解。（五）11、在一元二次方程的求根公式x=242bbaca中，把叫做一元二次方程的判别式。12、b2-4ac的值与一元二次方程的根的关系：若b2-4ac＞0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）有两个实数解（或实数根）若b2-4ac=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）有两个实数解（或实数根）若b2-4ac＜0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠O）实数解（或实数根）【典型例题】1.方程(x－1)(x+2)(x－3)=0的根是。2、如果A2-B2=0，则下列结论中正确的是（）A.A=BB.A=-BC.A=B=0D.A=B或A=-B3、一元二次方程x2-4x+4=0的根是__________4、当a=_________，代数式(a-2)2与4-2a的值相等5、用因式分解法解方程（1）216100xx（2）2(25)(1)(25)xxxx26、（拓展）已知(a2+b2)(a2+b2+1)=a2+b2+1，求a2+b2的值巩固练习1、用开平方法解下列方程（1）2 9(x1)25（2）26x181（3）(x-1)2=(3x-4)22、用配方法解方程（1）232xx（2）23410xx（5）2(1)2(1)8xx3、用求根公式法解方程（1）22x5x30（2)22x13x4、若关于x的一元二次方程5x2-k=0有实数根，则k的取值范围是_________5、已知一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，且a，b满足等式b=11aa-4，求方程13y2-2c=0的根6、若x2+ax+9是关于x的完全平方式，则常数a的值是__________7、一元二次方程x2-px+1=0配方后为(x-q)2=15，那么一元二次方程x2-px-1=0配方后为（）A.(x-4)2=17B.(x+4)2=15C.(x+4)2=17D.(x-4)2=17或(x+4)2=178、若x为任意实数，则x2+4x+7的最小值为__________当x=_______时，代数式3x2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______9、不论x、y是什么实数，代数式x2+y2+2x-4y+7的值（）A.总不小于2B.总不小于7C.可以为任何实数D.可能为负数10、a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，则△ABC是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形11、若实数a，b，c满足a2+6b=-17，b2+8c=-23,，c2+2a=14，求a+b+c的值12、若，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，则k的取值范围是★★★★★已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2kx-1=0有实数根，求k的取值范围。13、已知关于x的方程x2-(2k+1)x+4(k-12)=0（1）求证：这个方程总有两个实数根（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长。【课本相关知识点】（一）1、列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：（1）审清题意：明确问题中的已知量、未知量及量与量之间的关系（2）设未知数：把问题中的未知量用字母表示出来。一般有直接设未知数和间接设未知数（3）列方程：把题目中的相等关系用含未知数的等式表示，得到一元二次方程（4）解方程：把所列的一元二次方程的未知数求出来（5）检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意。2、解决销售问题的依据是：销售利润=（售价-进价）×销量。其一般规律是：售价下降，则销量上升；反之，售价上升，则销量下降3、（1）平均增长率公式：其中a是基础量，b是增长后的量，n是增长的次数，x是平均增长率（2）平均减少率公式：其中a是基础量，b是减少后的量，n是减少的次数，x是平均减少率补充：4、传染问题：（几何级数）传染源：1个【每一轮1个可传染给x个】【前后轮患者数的比例为1：（1+x）】患者：第一轮后：共（1+x）个第二轮后：共（1+x）•（1+x），即(1+x)2个第三轮后：共（1+x）•（1+x）•（1+x），即(1+x)3个……第n轮后：共有(1+x)n个注意：【上面例举的是传染源为“1”的情况得到的结论。若传染源为a，则第n轮后患者共为：a(1+x)n个】补充：5、赛制循环问题：单循环：设参加的球队为x，则全部比赛共12x（x-1）场；双循环：设参加的球队为x，则全部比赛共x（x-1）场；注意：【单循环比双循环少了一半】补充：6、数字问题解数字问题的关键是正确而巧妙地设出未知数，一般采用间接设元法多位数的表示方法：两位数=十位上的数字×10+个位数字；三位数=百位上的数字×100+十位上的数字×10+个位数字，依次类推3补充：7、银行利率应用题（含利滚利问题）：与前面的平均增长率问题类似（年利率为a%）存一年的本息和：本金×(1+年利率），即本金×（1+a%）存两年的本息和：本金×(1+年利率)2，即本金×(1+a%)2存三年的本息和：本金×(1+年利率)3，即本金×(1+a%)3存n年的本息和：本金×(1+年利率)n，即本金×(1+a%)n（二）1、列一元二次方程解决面积问题时，其解题的关键是掌握三角形、长方形、正方形、梯形、圆等各种几何图形的面积公式2、动点问题：列一元二次方程解决动态几何问题时，首先应根据题意正确地画出图形，结合图形分析运动过程，再设出运动时间，用未知数表示线段的长度，找出等量关系，建立一元二次方程模型求解，同时切记要检验解的合理性。3、等积变形（等积变形一般都是涉及常见图形的体积，面积公式；其原则是形变积不变；或形变积也变，但重量不变，等等）4、梯子下滑问题（利用勾股定理）5、航海问题【典型例题】【例1】、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？解：设每件售价x元，则每件利润为（x-8）元，每天销售量则为（105.010200x）件由题意，得：6408105.010200xx解这个方程得，x1=12，x2=16。经检验，都是方程的解，且符合题意。答：当每件售价为12元或16元时，每天利润为640元。练习1、神州行旅行社为吸引市民组团去大纵湖风景区旅游，推出如下收费标准：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元；如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元，某单位组织员工去大纵湖风景区旅游，共支付给神州旅行社旅游费用2700元，请问该单位这次共有多少员工去旅游了。练习2、某越剧团准备在市大剧院演出,该剧院能容纳1200人,经调研,如果票价定为30元，那么门票可以全部售完，门票价格每增加1元，售出的门票数就减少30张，如果想获得36750元的门票收入，票价应定为多少元？【例2】、某商厦今年一月份销售额为60万元，二月份由于种种原因，经营不善，销售额下降10%，后经加强改进激利机制，激发了全体员工的积极性，月销售额大幅度上升，到四月份销售额猛增到96万元，求三、四月份平均每月增长的百分率是多少？(精确到0.1%)练习1、某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商店可自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350―10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，需卖出多少件商品，每件售价应为多少元？分析：本题中涉及到的数量关系列表如下：进价售价单件利润售出数量利润21aa―21350―10a400【例3】、中国内地部分养鸡场突发禽流感疫情，某养鸡场中、一只带病毒的小鸡经过两天的传染后、鸡场共有169只小鸡遭感染患病，在每一天的传染中平均一只鸡传染了几只小鸡？【例4】、某人将2000元按一年定期存入银行。到期后取出1000元，并将剩下的1000元及利息再按一年定期存入银行，到期后取得本息共计1091.8元。求银行一年定期储蓄的年利率是多少？【例5】、象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好