电磁场与电磁波课后习题答案第2章(杨儒贵编着)

1第二章静电场2-1若真空中相距为d的两个电荷q1及q2的电量分别为q及4q，当点电荷q位于q1及q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求q的大小及位置。解要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷q1及q2的力应该大小相等，方向相反，即qqqqFF21。那么，由1222022101244rrrqqrqq，同时考虑到drr21，求得drdr32,3121可见点电荷q可以任意，但应位于点电荷q1和q2的连线上，且与点电荷1q相距d31。2-2已知真空中有三个点电荷，其电量及位置分别为：)0,1,0(,4)1,0,1(,1)1,0,0(,1332211PCqPCqPCq试求位于)0,1,0(P点的电场强度。解令321,,rrr分别为三个电电荷的位置321,,PPP到P点的距离，则21r，32r，23r。利用点电荷的场强公式reE204rq，其中re为点电荷q指向场点P的单位矢量。那么，习题图2-2zx1q2q3qPE3E2E121q在P点的场强大小为021011814rqE，方向为zyreee211。2q在P点的场强大小为0220221214rqE，方向为zyxreeee312。3q在P点的场强大小为023033414rqE，方向为yree3则P点的合成电场强度为zeeeEEEEyx31212814131212813121103212-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。解令点电荷q位于坐标原点，r为点电荷q至场点P的距离。再令点电荷q位于+z坐标轴上，1r为点电荷q至场点P的距离。两个点电荷相距为l，场点P的坐标为（r,,）。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为311304rrqrrE考虑到rl，1re=er，cos1lrr，那么上式变为rrrrrrrrqrrrrqeeE2121102122210))((443式中2122212211cos211cos2rlrlrrllrr以rl为变量，并将2122cos21rlrl在零点作泰勒展开。由于rl，略去高阶项后，得cos1cos11211rlrrlrr利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为θreeE3030204sin2cos1cos14rqlrqlrrlrq2-4已知真空中两个点电荷的电量均为6102C，相距为2cm，如习题图2-4所示。试求：①P点的电位；②将电量为6102C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。解根据叠加原理，P点的合成电位为V105.24260rq因此，将电量为C1026的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为J5qW2-5通过电位计算有限长线电荷1cmP1cmqq1cmr习题图2-44的电场强度。解建立圆柱坐标系。令先电荷沿z轴放置，由于结构以z轴对称，场强与无关。为了简单起见，令场点位于yz平面。设线电荷的长度为L，密度为l，线电荷的中点位于坐标原点，场点P的坐标为zr,2,。利用电位叠加原理，求得场点P的电位为2200d4LLlrl式中220rlzr。故22220222202222ln4ln4rLzLzrLzLzrlzlzlLLl因E，可知电场强度的z分量为222202222ln4rLzLzrLzLzzzElzy习题图2-5r0Pzzrodll1252222021214rLzrLzl2202112114rLzrLzrl22220224LzrrLzrrrl120sinsin4rl电场强度的r分量为222202222ln4rLzLzrLzLzrrElr222202224rLzLzrLzrl2222222rLzLzrLzr2202122114rLzrLzrLzrl622212211rLzrLzrLz121120tan11tan1tan1114rl22222tan11tan1tan111210cos1cos14rl210coscos4rl式中2tanarc,2tanarc21LzrLzr，那么，合成电强为rzlreeE12120coscossinsin4当L时，,021，则合成电场强度为rlreE02可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。2-6已知分布在半径为a的半圆周上的电荷线密度0,sin0l，试求圆心处的电场强度。7解建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷lld在圆心处产生的电场强度具有两个分量Ex和Ey。由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的yE分量，即sin4ddd20alEEly考虑到sin,dd0lal，代入上式求得合成电场强度为yyaaeeE0002008dsin42-7已知真空中半径为a的圆环上均匀地分布的线电荷密度为l，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。习题图2-6ayxoldE习题图2-7xyzProa8解建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷lld在z轴上P点产生的电位为rll04d根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为2202002002d4d41zaalrlrzlalal因电场强度E，则圆环线电荷在P点产生的电场强度为232202zaazzzlzzeeE2-8设宽度为W，面密度为S的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。解建立直角坐标，且令带状电荷位于xz平面内，如习题图2-8所示。带状电荷可划分为很多条宽度为xd的无限长线电荷，其线密度为xsd。那么，该无限长线电荷习题图2-8xyz2w2wxdoryx2w2wdxx(a)(b)P(x,y)9产生的电场强度与坐标变量z无关，即reErxs02dd式中22yxxryxxrryrxxyxyxreeeee1得yxxyxxxsyxeeE2202dd那么yxxyxxxswwyxeeE220222dywxywxywxywxss2arctan2arctan222ln4022220yxee2-9已知均匀分布的带电圆盘半径为a，面电荷密度为S，位于z=0平面，且盘心与原点重合，试求圆盘轴线上任一点电场强度E。解如图2-9所示，在圆盘上取一半径为r，宽度为rd的圆环，该圆环具有的电荷量为srrqd2d。由于对称性，该圆环电荷在z轴上任一点P产生的电场强度仅的r有z分量。根据习题2-7结果，获知该圆环电荷在P产生的习题图2-9oxyzrdrP(0,0,z)10电场强度的z分量为232202ddzrrzrEsz那么，整个圆盘电荷在P产生的电场强度为2200232202d2azzzzrzrzrszaszeeE2-10已知电荷密度为S及S的两块无限大面电荷分别位于x=0及x=1平面，试求10,1xx及0x区域中的电场强度。解无限大平面电荷产生的场强分布一定是均匀的，其电场方向垂直于无限大平面，且分别指向两侧。因此，位于x=0平面内的无限大面电荷S，在x0区域中产生的电场强度11ExeE，在x0区域中产生的电场强度11ExeE。位于x=1平面内的无限大面电荷S，在x1区域中产生的电场强度22ExeE，在x1区域中产生的电场强度22ExeE。由电场强度法向边界条件获知，01010xsEE02020xsEE即01010xsEE12020xsEE由此求得0212sEE根据叠加定理，各区域中的电场强度应为0,02121xEExxeeEEE10,02121xEEsxxeeEEE1,02121xEExxeeEEE112-11若在球坐标系中，电荷分布函数为brbraar0,,100,06试求braar,0及br区域中的电通密度D。解作一个半径为r的球面为高斯面，由对称性可知reDsD24drqqs式中q为闭合面S包围的电荷。那么在ar0区域中，由于q=0，因此D=0。在bra区域中，闭合面S包围的电荷量为3363410darvqv因此，reD2336310rar在br区域中，闭合面S包围的电荷量为3363410dabvqv因此，reD2336310rab2-12若带电球的内外区域中的电场强度为araqrarrq,,2reE试求球内外各点的电位。解在ar区域中，电位为aqraaqraarr222dddrErErE在ar区域中，rqrrrEd2-13已知圆球坐标系中空间电场分布函数为12arraarr,,253reE试求空间的电荷密度。解利用高斯定理的微分形式0E，得知在球坐标系中rErrrr2200dd1E那么，在ar区域中电荷密度为205205dd1rrrrr在ar区域中电荷密度为0dd1520arrr2-14已知真空中的电荷分布函数为ararrr,00,)(2式中r为球坐标系中的半径，试求空间各点的电场强度。解由于电荷分布具有球对称性，取球面为高斯面，那么根据高斯定理0204dqrEqssE在ar0区域中502254d4drrrrvrqrvrrrrreeE03052515441在ar区域中502254d4darrrvrqavrrraareeE025052515441132-15已知空间电场强度zyxeeeE543，试求（0,0,0）与（1,1,2）两点间的电位差。解设P1点的坐标为（0,0,0,）,P2点的坐标为（1,1,2,），那么，