导数及其应用

第一节变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景．2．理解导数的几何意义．3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x的导数．4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为ΔyΔx＝fx1－fx2x1－x0＝fx0＋Δx－fx0Δx.当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数．通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝limx1→x0fx1－fx0x1－x0＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx.(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．函数y＝f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义．(3)函数的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝limΔx→0fx＋Δx－fxΔx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．2．导数公式及运算法则(1)导数公式表原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝axf′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝1xlnaf(x)＝lnxf′(x)＝1x(2)导数的运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．(3)复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．[自我查验]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．()(2)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)sinπ3′＝cosπ3.()(5)若(lnx)′＝1x，则1x′＝lnx．()(6)函数f(x)＝sin(－x)的导数为f′(x)＝cosx．()(7)y＝cos3x由函数y＝cosu，u＝3x复合而成．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×(5)×(6)×(7)√2．曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程是()A．x－3y＋3＝0B．x－2y＋2＝0C．2x－y＋1＝0D．3x－y＋1＝0解析：选C∵y＝sinx＋ex，∴y′＝cosx＋ex，∴y′x＝0＝cos0＋e0＝2，∴曲线y＝sinx＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.故选C.3．求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝x3－1sinx.答案：(1)y′＝ex(nxn－1＋xn)．(2)y′＝3x2sinx－x3－1cosxsin2x.[典题1]求下列函数的导数：(1)y＝(1－x)1＋1x；(2)y＝lnxx；(3)y＝tanx；(4)y＝3xex－2x＋e；(5)y＝ln2x＋3x2＋1.[听前试做](1)∵y＝(1－x)1＋1x＝1x－x＝x－12－x12，∴y′＝(x－12)′－(x12)′＝－12x－32－12x－12.(2)y′＝lnxx′＝lnx′x－x′lnxx2＝1x·x－lnxx2＝1－lnxx2.(3)y′＝sinxcosx′＝sinx′cosx－sinxcosx′cos2x＝cosxcosx－sinx－sinxcos2x＝1cos2x.(4)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(5)y′＝ln2x＋3′x2＋1－ln2x＋3x2＋1′x2＋12＝2x＋3′2x＋3·x2＋1－2xln2x＋3x2＋12＝2x2＋1－2x2x＋3ln2x＋32x＋3x2＋12.导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导．(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．[典题2](1)(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．(2)已知f(x)＝12x2＋2xf′(2016)＋2016lnx，则f′(2016)＝________.[听前试做](1)f′(x)＝alnx＋x·1x＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.(2)由题意得f′(x)＝x＋2f′(2016)＋2016x，所以f′(2016)＝2016＋2f′(2016)[phone]，即f′(2016)＝－(2016＋1)＝－2017.答案：(1)3(2)－2017在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误．1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0解析：选B∵f(x)＝ax4＋bx2＋c，∴f′(x)＝4ax3＋2bx.又f′(1)＝2，∴4a＋2b＝2，∴f′(－1)＝－4a－2b＝－2.2．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)的值为________．解析：因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程[典题3](1)(2016·宜春模拟)曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为()A．(1－e)x－y＋1＝0B．(1－e)x－y－1＝0C．(e－1)x－y＋1＝0D．(e－1)x－y－1＝0(2)(2016·铜川模拟)设曲线y＝ex＋12ax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则实数a＝()A．3B．1C．2D．0(3)已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.①求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；②求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．[听前试做](1)由于y′＝e－1x，所以y′x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－lnx在点(1，e)处的切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y＋1＝0.(2)∵与直线x＋2y－1＝0垂直的直线斜率为2，∴f′(0)＝e0＋12a＝2，解得a＝2.(3)①∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－(－2)＝x－2，即x－y－4＝0.②设切点坐标为(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x20－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x20－8x0＋5)(x－2)，又切线过点(x0，x30－4x20＋5x0－4)，∴x30－4x20＋5x0－2＝(3x20－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或x0＝1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.答案：(1)C(2)C角度二：求切点坐标[典题4](2015·陕西高考)设曲线y＝ex在点(0,1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为________．[听前试做]y′＝ex，曲线y＝ex在点(0,1)处的切线的斜率k1＝e0＝1，设P(m，n)，y＝1x(x＞0)的导数为y′＝－1x2(x＞0)，曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－1m2(m＞0)，因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1,1)．答案：(1,1)角度三：求参数的值[典题5](1)若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝()A．－1B．0C．1D．2(2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图像在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.(3)(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.[听前试做](1)∵两曲线的交点为(0，m)，∴m＝a，m＝1，即a＝1，∴f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，则f′(0)＝0，f(0)＝1.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0，∴a＋b＝1.(2)∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.(3)法一：∵y＝x＋lnx，∴y′＝1＋1x，y′x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.∵y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由y＝2x－1，y＝ax2＋a＋2x＋1，消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.法二：同法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax20＋(a＋2)x0＋1)．∵y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由2ax0＋a＋2＝2，ax20＋a＋2x0＋1＝2x0－1，解得x0＝－12，a＝8.答案：(1)C(2)1(3)8(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．(如角度一)(2)已知斜率k，求切点A(x0，f(x0))，即解方程f′(x0)＝k.(如角度二)(3)①根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解．②当切线方程中x(或