知识讲解-三角恒等变换-基础

第1页共11页三角恒等变换【考纲要求】1、会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2、能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.3、能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4、能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.【知识网络】【考点梳理】考点一、两角和、差的正、余弦公式()sin()sincoscossin()S()cos()coscossinsin()C()tantantan()()1tantanT要点诠释：1．公式的适用条件(定义域)：前两个公式()S,()C对任意实数α，β都成立，这表明该公式是R上的恒等式；公式()T③中,，且Rk(kZ)2、、2．正向用公式()S,()C，能把和差角()的弦函数表示成单角α，β的弦函数；反向用，能把右边结构复杂的展开式化简为和差角()的弦函数。公式()T正向用是用单角的正切值表示和差角()的正切值化简。考点二、二倍角公式1.在两角和的三角函数公式()()(),,SCT中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,SCT：sin22sincos2()S；简单的三角恒等变换三角恒等变换两角和与差的三角函数公式倍角公式2C2T2SCCSSTT第2页共11页22sincos2cos2()C；22tantan21tan2()T。要点诠释：1．在公式22,SC中，角α没有限制，但公式2T中，只有当)(224Zkkk和时才成立；2.余弦的二倍角公式有三种：22sincos2cos＝1cos22＝2sin21；解题对应根据不同函数名的需要，函数不同的形式，公式的双向应用分别起缩角升幂和扩角降幂的作用。3.二倍角公式不仅限于2α和α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24是的二倍，332是的二倍等等，要熟悉这多种形式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键。考点三、二倍角公式的推论降幂公式：2sin21cossin；22cos1sin2；22cos1cos2.万能公式：2tan1tan22sin；22tan1tan12cos.半角公式：2cos12sin；2cos12cos；cos1cos12tan.其中根号的符号由2所在的象限决定.要点诠释：(1)半角公式中正负号的选取由2所在的象限确定；(2)半角都是相对于某个角来说的，如23可以看作是3α的半角，2α可以看作是4α的半角等等。(3)正切半角公式成立的条件是α≠2kπ+π(k∈Z)第3页共11页正切还有另外两个半角公式：Zkkk),(sincos12tan),2(cos1sin2tan，这两个公式不用考虑正负号的选取问题，但是需要知道两个三角函数值。常常用于把正切化为正余弦的表达式。考点四、三角形内角定理的变形由ABC，知()ABC可得出：sinsin()ABC，coscos()ABC.而()222ABC，有：()sincos22ABC，()cossin22ABC.【典型例题】类型一：正用公式例1.已知:41cos,32sin，求cos()的值.【思路点拨】直接利用两角差的余弦公式.【解析】由已知可求得22515cos1sin,sin1cos34.当在第一象限而在第二象限时，cos()coscossinsin51215()3434125152.当在第一象限而在第三象限时，512152155cos()()()343412.当在第二象限而在第二象限时，512152155cos()()()343412.当在第二象限而在第三象限时，512152155cos()()()()343412.【点评】例1是对公式的正用．当三角函数值的符号无法确定时，注意分类讨论.举一反三：【变式1】已知(,0)2x，4cos5x，则tan2x.【答案】247.【变式2】已知tan()24x，则tantan2xx.【答案】19【变式3】已知tan和tan是方程2260xx的两个根，求tan()的值.【答案】18【解析】由韦达定理，得1tantan2，tantan3，第4页共11页∴tantan1tan()1tantan8.【变式4】某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.(1)22sin13cos17sin13cos17(2)22sin15cos15sin15cos15(3)22sin18cos12sin18cos12(4)22sin(18)cos48sin(18)cos48(5)22sin(25)cos55sin(25)cos55Ⅰ试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数Ⅱ根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广三角恒等式,并证明你的结论.【解析】Ⅰ.选择(2)式计算如下2213sin15cos15sin15cos151sin3024Ⅱ.证明:22sincos(30)sincos(30)22sin(cos30cossin30sin)sin(cos30cossin30sin)222233131sincossincossinsincossin4242222333sincos444例2．已知324，12cos()13,3sin()5，求sin2的值.【思路点拨】注意到2()()，将()，()看做一个整体来运用公式.【解析】324,30,42，22125sin()1cos()1()1313，2234cos()1sin()1()55，第5页共11页sin2sin[()()]sin()cos()cos()sin()31245()5135135665【点评】1、给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，例2中应用了2()()的变换，体现了灵活解决问题的能力，应着重体会，常见的变换技巧还有(),,1[()()]2,2()(),()424等.2、已知某一个（或两个）角的三角函数值，求另一个相关角的三角函数值，基本的解题策略是从“角的关系式”入手切入或突破.角的关系主要有互余（或互补）关系，和差（为特殊角）关系，倍半关系等.对于比较复杂的问题，则需要两种关系的混合运用.举一反三：【变式1】已知3sin5，是第二象限角，且tan()1，求tan2的值.【答案】724【解析】由3sin5且是第二象限角，得3tan4，∵()，∴tan()tantantan[()]71tan()tan.22tan7tan21tan24【变式2】函数23sin(70)2cos(10)yxx的最大值为（）A．23B．4C．2D．223【答案】C；【解析】∵7060(10)xx，23[sin60cos(10)cos60sin(10)]2cos(10)cos(10)3sin(10)2sin(40)xxxxxx原式.所以其最大值为2，故选C.【变式3】已知4cos()cos2.125212，且，求（＋）的值【答案】31250第6页共11页【解析】角的关系式：4)12(2122（和差与倍半的综合关系）∵4cos()1252，且，∴53)12sin(∴2524)12cos()12sin(2)12(2sin2571)12(cos2)12(2cos2∴]4)12(2cos[.122cos）＋（＝)]12(2sin)12(2[cos222724312()2252550【变式4】已知434，40，53)4cos(，135)43sin(，求sin()的值。【答案】5665【解析】∵042，∴54)4sin(，∵4343，∴1312)43cos(。∴)](2cos[)sin(6556)54(135531312)]4sin()43sin()4cos()43[cos()]4()43cos[(类型二：逆用公式例3.求值：（1）sin43cos13cos43sin13；（2）2cos6sinxx；（3）1tan151tan15；（4）44(sin23cos8sin67cos98)(sin730cos730).【思路点拨】逆用两角和（差）正（余）弦公式，正切公式.【解析】（1）原式=1sin(4313)sin302；（2）原式1322(cossin)22(sin30coscos30sin)22sin(30)22xxxxx；（3）原式tan45tan15tan(4515)tan6031tan45tan15；第7页共11页（4）原式2222(sin23cos8cos23sin8)(sin730cos730)(sin730cos730)22sin(238)(cos730sin730)11sin15cos15sin3024.【点评】①把式中某函数作适当的转换之后，再逆用两角和（差）正（余）弦公式，二倍角公式等，即所谓“逆用公式”。②辅助角公式：22sincossin()abab，其中角在公式变形过程中自然确定.举一反三：【变式1】化简sin163sin223sin253sin313.【答案】12【变式2】已知3sin()coscos()sin5，那么cos2的值为（）A．725B．1825C．725D．1825【答案】A；【解析】∵3sin()coscos()sinsin[()]sin()sin5，∴27cos212sin25.例4.求值：（1）cos36cos72；（2）73cos72cos7cos【思路点拨】要使能利用公式化简，分子分母同乘以第一个角的正弦值.【解析】（1）原式=000000000sin36cos36cos721sin72cos721sin1441sin362sin364sin364；（2）原式=74cos72cos7cos)74cos(72cos7cos24sincoscoscos7777sin7224sincoscos