解三角形的实际应用举例

§3解三角形的实际应用举例正弦定理sinsinsinabcABC2222222cos2cosbaccaBcababC2222cosabcbcA222222222cos2cos2cos2bcaAbccabBcaabcCabsin:sin:sin::ABCabc解三角形（六个元素）—知三求三ABCabc公式运用——知三求一余弦定理解斜三角形理论应用于实际问题应注意：1、认真分析题意，弄清已知元素和未知元素.2、要明确题目中一些名词、术语的意义.如视角，仰角，俯角，方位角等等.3、动手画出示意图，利用几何图形的性质，将已知和未知集中到一个三角形中解决.正弦定理余弦定理(1)已知两角和一边,求其他元素;2sinsinsinabcRABC2222coscababC(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和一边对角,求其他元素.(2)已知两边和它们的夹角,求其他元素.ABCABCABCABC仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线_____时叫仰角，目标视线在水平视线_____时叫俯角，如图所示．自学导引1．上方下方方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图所示)．2．方位角的其他表示——方向角(1)正南方向：指从原点O出发的经过目标的射线与正南的方向线重合，即目标在正南的方向线上．依此可类推正北方向、正东方向和正西方向．(2)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)．3．想一想：用三角形知识解决高度，角度问题的关键是什么？提示关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型，然后求解．解三角形应用题的一般步骤4．用三角形解实际问题的技巧有些实际问题常抽象成解三角形问题，一般有以下两种类型：(1)已知量与未知量集中在一个三角形中可用正弦定理或余弦定理直接求解．(2)已知量与未知量涉及两个(或多个)三角形时，在已知条件下，弄清哪个三角形可解，为解其他三角形需求可解三角形的哪个边(角)．有时需设出未知量，由已知条件列出方程，然后解方程得出所要求的解．5．正弦定理、余弦定理是两个重要的定理.在解决与三角形有关的几何计算问题中有着广泛的应用.下面举例说明.例1自动卸货汽车采用液压机构.设计时需要计算油泵顶杠BC的长度（如图所示）.已知车厢的最大仰角为60（指车厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m,AB与水平线之间的夹角为620，AC长为1.40m,计算BC的长度（结果精确到0.01ｍ）.BAC60620D问题转化为：已知ABC的两边AB=1.95m,AC=1.40m,夹角6620BAC，求BC的长.BC2=≈3.571，∴BC≈1.89(m)．答：顶杆BC约长1.89m．AB2+AC2-2AB·ACcosAABC60620Dm95.1m40.1221.951.4021.951.40cos6620解：由余弦定理，得例2如图，两点Ｃ，Ｄ与烟囱底部在同一水平直线上，在点Ｃ1，Ｄ1，利用高为1.5ｍ的测角仪器，测得烟囱的仰角分别是＝45°和＝60°,Ｃ、Ｄ间的距离是12m.计算烟囱的高AB(结果精确到0.01m).DCBAA1C1D1测量高度问题m52.1B1AA1C1DDCh1AB求分析：如图所示，因为AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可.解：在11BCD中，1118060120BDC，11604515CBD，由正弦定理得：1111111sinsinCDBCCBDBDC，1111111sin12sin120(18266)sinsin15CDBDCBCmCBD从而：112186328.3922ABBCm因此：1128.3921.529.89229.89ABABAAm答：烟囱的高约为29.89m.例3如图是曲柄连杆机构的示意图当曲柄CB绕点C旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在0CB位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在0A处。设连杆AB长为lmm，曲柄CB长为rmm，lr（1）当曲柄自0CB按顺时针方向旋转角为时，其中000360，求活塞移动的距离（即连杆的端点A移动的距离0AA）；（2）当340mml，85mmr，080时，求0AA的长（结果精确到1mm）.800B0A0CBA分析：如图所示，不难得到，活塞移动的距离为00AAACAC易知0ACABBClr所以，只要求出AC的长即可，在ABC中，已知两边和其中一边的对角，可以通过正弦定理或余弦定理求出AC的长.解：（1）设ACx，若0，则00AA，若0180，则02rmmAA若0180，在ABC中，由余弦定理，得：2222cosABACBCACBCC即2222(cos)()0xrxlr解得：2222221cos(cos)(cossin)(mm)xrrlrrlr2222cos(cos)0xrrlr（不合题意，舍去）00AAACACABBCAC=222(cossin)(mm)lrrlr若180360则根据对称性，将上式中的改为360即可，有2220(cossin)(mm)AAlrrlr总之，当0360时，2220(cossin)(mm)AAlrrlr（2）当340lmm，85rmm，80时，利用计算器得：22203408585cos8034085sin8081(mm)AA答：此时活塞移动的距离约为81mm.例4：a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B,C分别在A的正东方20km和54km处，某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波，8s后监测点A，20s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.（1）设A到P的距离为xkm，用x表示B,C到P的距离，并求x的值（2）求静止目标P到海防警戒线a的距离（结果精确到0.01km）北aPDCBA分析：（1）PA,PB,PC长度之间的关系可以通过收到信号的先后时间建立起来（2）作PDa，垂足为D，要求PD的长，只需要求出PA的长和cosAPD，即cosPAB的值，由题意，,PAPBPCPB都是定值，因此，只需要分别在PAB和PAC中，求出cosPAB，cosPAC的表达式，建立方程即可.解：（1）依题意，1.5812(km)PAPB，1.52030(km)PCPB因此：(12)kmPBx，(18)kmPCx，在PAB中，20ABkm22222220(12)332cos22205PAABPBxxxPABPAABxx·同理：72cos3xPACx由于：coscosPABPAC即：3327253xxxx解得：132()7xkm（2）作PDa，垂足为D，在RtPDA中，coscosPDPAAPDPAPAB132332332717.71(km)55xxx答：静止目标P到海防警戒线a的距离约为17.71km1、解决实际应用问题的关键思想方法是什么？2、解决实际应用问题的步骤是什么？实际问题数学问题（画出图形）解三角形问题数学结论分析转化检验答：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想.1.我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看.ACB60°75°:60,75,45:10sin60sin4510sin6056()sin45ABCBCBC解由正弦定理得海里2.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东20°,30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东65°方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：AB=16，由正弦定理知：可求得BS≈7.7海里.答：灯塔S和B处的距离为7.7海里.16sin20sin45BSABS201154516？1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关的实际问题.2.了解常用的相关测量术语.3.体会数学应用题建模的过程.