1.5.3定积分的概念

1.5.3定积分的概念一、定积分的定义11()()nniiiibafxfn小矩形面积和S=如果当n∞时，S的无限接近某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(i)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”:分割---近似代替----求和------取极限得到解决.1()lim()ninibafxdxfnba即定积分的定义：定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。1()lim()ninibafxdxfnba即Oabxy)(xfybaIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限baf(x)dxbaf(t)dtbaf(u)du。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）定义中区间的分法和i的取法是任意的。（但为了方便计算，一般采用等分的方式，i取左端点或右端点.）baf(x)dxbaf(x)dx-(3)二、定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、特别地，当ab时，有baf(x)dx0。当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的负值。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。Sabyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx三、定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk三:定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃ性质3不论a，b，c的相对位置如何都有aby=f(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。cOxybaf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。例1：利用定积分的定义,计算的值.130xdx解：令3xxf）（（1）分割在区间【0，1】上等间隔地插入n-1个点，把区间等分成n个小区间).,,2,1(],1[ninini每个区间长度.11xnnini（2）近似代替、作和则取),,,2,1(niniinSdxx103nnixnifnini1.)().(311224134)1(41.11nnninni2)11(41n（3）取极限41n1141nlimnlimdxx2n103）（Sdxxx2102）（dxxxdx210102例2、利用定积分的性质计算分析：利用定积分的性质1、性质2，将定积分转化为利用定积分的定义分别求出，，dxxxdx10102就得到定积分的值。dxxx2102）（