人教a版数学【选修2-2】练习：1.6微积分基本定理(含答案)

选修2-2第一章1.6一、选择题1．(2013·华池一中高二期中)122xdx等于()A．6B．5C．4D．3[答案]D[解析]122xdx＝x2|21＝3.2．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y＝x与直线x＝a、y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则正实数a为()A．49B．59C．43D．53[答案]A[解析]由题意知，0axdx＝a2，∵(23x32)′＝x12，∴0axdx＝23x32|a0＝23a32，∴23a32＝a2，∴a＝49.3.－22x2＋1x4dx＝()A．214B．54C．338D．218[答案]A[解析]－22x2＋1x4dx＝13x3＋－13x－3|2－2＝13(x3－x－3)|2－2＝138－18－13－8＋18＝214.故应选A.4．设f(x)＝x20≤x1，2－x1≤x≤2.则02f(x)dx等于()A．34B．45C．56D．不存在[答案]C[解析]02f(x)dx＝01x2dx＋12(2－x)dx，取F1(x)＝13x3，F2(x)＝2x－12x2，则F′1(x)＝x2，F′2(x)＝2－x，∴02f(x)dx＝F1(1)－F1(0)＋F2(2)－F2(1)＝13－0＋2×2－12×22－2×1－12×12＝56.故应选C.5.03|x2－4|dx＝()A．213B．223C．233D．253[答案]C[解析]03|x2－4|dx＝02(4－x2)dx＋23(x2－4)dx＝4x－13x3|20＋13x3－4x|32＝233.6．1－2sin2θ2dθ的值为()A．－32B．－12C．12D．32[答案]D[解析]∵1－2sin2θ2＝cosθ，∴1－2sin2θ2dθ＝cosθdθ＝故应选D.二、填空题7．计算定积分：①－11x2dx＝________②233x－2x2dx＝________③02|x2－1|dx＝________④0－π2|sinx|dx＝________[答案]①23②436③2④1[解析]①－11x2dx＝13x3|1－1＝23.②233x－2x2dx＝32x2＋2x|32＝436.③02|x2－1|dx＝01(1－x2)dx＋12(x2－1)dx＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.8.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分的概率为________．[答案]13[解析]长方形的面积为S1＝3，S阴＝013x2dx＝x3|10＝1，则P＝S1S阴＝13.9．已知f(x)＝3x2＋2x＋1，若1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.[答案]－1或13[解析]由已知F(x)＝x3＋x2＋x，F(1)＝3，F(－1)＝－1，∴1－1f(x)dx＝F(1)－F(－1)＝4，∴2f(a)＝4，∴f(a)＝2.即3a2＋2a＋1＝2.解得a＝－1或13.三、解答题10．计算下列定积分：(1)02(4－2x)(4－x2)dx;(2)12x2＋2x－3xdx.[解析](1)02(4－2x)(4－x2)dx＝02(16－8x－4x2＋2x3)dx＝16x－4x2－43x3＋12x4|20＝32－16－323＋8＝403.(2)12x2＋2x－3xdx＝12x＋2－3xdx＝12x2＋2x－3lnx|21＝72－3ln2.一、选择题11．函数F(x)＝0xcostdt的导数是()A．F′(x)＝cosxB．F′(x)＝sinxC．F′(x)＝－cosxD．F′(x)＝－sinx[答案]A[解析]F(x)＝0xcostdt＝sint|x0＝sinx－sin0＝sinx.所以F′(x)＝cosx，故应选A.12．由曲线y＝x2、y＝x3围成的封闭图形面积为()A．112B．14C．13D．712[答案]A[解析]由y＝x2，y＝x3，得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝01(x2－x3)dx＝13x3－14x410＝112.13．(2013·江西理，6)若S1＝12x2dx，S2＝121xdx，S3＝12exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A．S1S2S3B．S2S1S3C．S2S3S1D．S3S2S1[答案]B[解析]S1＝12x2dx＝x33|21＝73.S2＝121xdx＝lnx|21＝ln2－ln1＝ln2.S3＝12exdx＝ex|21＝e2－e＝e(e－1)．∵e2.7，∴S33S1S2.故选B.二、填空题14．(2014·绍兴模拟)(x＋cosx)dx＝________.[答案]2[解析](x＋cosx)dx＝(12x2＋sinx)π2－π2＝2.15．(2014·山东省菏泽市期中)函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则k＝________.[答案]3[解析]由错误!解得错误!或错误!由题意得，0k(kx－x2)dx＝(12kx2－13x3)|错误!＝错误!k3－错误!k3＝错误!k3＝错误!，∴k＝3.三、解答题16．已知f(x)＝cx2＋cx＋c(c≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，01f(x)dx＝－2，求c、c、c的值．[解析]∵f(－1)＝2，∴c－c＋c＝2.①又∵f′(x)＝2cx＋c，∴f′(0)＝c＝0②而01f(x)dx＝01(cx2＋cx＋c)dx，取F(x)＝13cx3＋12cx2＋cx，则F′(x)＝cx2＋cx＋c，∴01f(x)dx＝F(1)－F(0)＝13c＋12c＋c＝－2③解①②③得c＝6，c＝0，c＝－4.17．如图，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围成图形为面积相等的两部分，求k的值．[解析]抛物线y＝x－x2与x轴两交点的横坐标x1＝0，x2＝1，所以，抛物线与x轴所围图形的面积S＝01(x－x2)dx＝(x22－x33)|错误!＝错误!－错误!＝错误!.抛物线y＝x－x2与直线y＝kx两交点的横坐标为x′1＝0，x′2＝1－k，所以S2＝∫错误!(x－x2－kx)dx＝(1－k2x2－x33)|错误!＝16(1－k)3，又知S＝16，所以(1－k)3＝12.于是k＝1－312＝1－342.