高等数学300题(工学-上)(1)

高等数学300题工学类（第一学期）CQU1/125高等数学300题1.xxxx2sin3553lim2.答案：56难度等级：1;知识点：等价无穷小的替换,有理分式函数的极限分析：由于当x时,xx2~2sin,于是5635253lim2sin3553lim22xxxxxxxx2.设函数010121xaxxexfx在0x处连续,则a.答案：2难度等级：1;知识点：连续函数定义分析：由于xf在0x处连续,由连续定义知00000fff,而aaxaxxxeaxaxfef11010211lim1lim00,00,因此112.aee解得2a3.nn24121222lim.答案：2难度等级：1;知识点：数列极限的计算分析：11111112242242lim222lim2lim22.nnnnnn4.51xey的水平渐近线为.答案：6y.高等数学300题工学类（第一学期）CQU2/125难度等级：1;知识点：水平渐近线的定义分析：由65lim1xxe,知水平渐近线为6y5.xxx2cotlim0.答案：21难度等级：1;知识点：等价无穷小的替换分析：212lim2tanlim2cotlim000xxxxxxxxx6.设xf在2x连续,且23lim2xxfx存在,则2f.答案：3难度等级：2;知识点：函数极限的四则运算法则,连续函数的定义分析：由23lim2xxfx存在,得到03lim2xfx,从而3lim2xfx,另一方面,由于xf在2x连续,于是3lim22xffx.7.设当0x时,21lncos1xx是比nxxsin高阶的无穷小,而nxxsin是比12xe高阶的无穷小,则正整数n2.答案：2难度等级：2;知识点：等价无穷小,高阶无穷小的定义分析：当0x时,2142~1,~sin,21~1lncos12xexxxxxxxnn,故由题意知231nn8.当0x时,11312ax与1cosx是等价无穷小,则常数a.高等数学300题工学类（第一学期）CQU3/125答案：23难度等级：2;知识点：等价无穷小的定义,等价无穷小的替换分析：由于当0x时,231231~11axax,221~1cosxx,于是axaxxaxxx322131lim1cos11lim2203120,又11312ax与1cosx是等价无穷小,所以132a,解得23a9.xxxsin2031lim.答案：6e难度等级：2;知识点：两个重要极限分析：6sin6310sin2031lim31limexxxxxxxx10.设ba0,则nnnnbalim.答案：b难度等级：2;知识点：夹逼准则分析：由于bbabnnnn2,且bbnn2lim,故bbannnnlim11.已知,23lim0xfxx则xxfx2lim0.答案：121难度等级：2;知识点：函数极限的四则运算法则分析：由23lim0xfxx知,633lim0xfxx,从而61lim0xxfx,即6122lim0xxfx,故1212lim0xxfx12.函数23122xxxxf的无穷间断点为.高等数学300题工学类（第一学期）CQU4/125答案：2x难度等级：2;知识点：无穷间断点的定义分析：由于函数xf的间断点为2,1x且22111lim231lim1221xxxxxxxxx,2111lim231lim2222xxxxxxxxx,故函数的无穷间断点为2x.13.xxxxx2sin1sinlim220.答案：2难度等级：2;知识点：无穷小的性质,第一个重要极限分析：220222sinlim1sinlim2sin1sinlim0220220xxxxxxxxxxx14.nnnnnnnnn2222211lim.答案：21难度等级：2;知识点：夹逼准则分析：由121121221121212222222nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn且21121lim,2121lim22nnnnnnnnnnn根据数列极限的夹逼准则知,所求数列极限为21.15.xxx201ln1lim.答案：2e难度等级：3;知识点：第二个重要极限,等价无穷小高等数学300题工学类（第一学期）CQU5/125分析：21ln21ln10201ln1lim1ln1limexxxxxxxx16.设bxxaxxx2632lim232,则a,b.答案：11,4ba难度等级：3;知识点：函数极限的四则运算法则分析：由bxxaxxx2632lim232且02lim2xx,有0632lim232xaxxx,即066416a,故4a,代入极限式中1132lim22322lim26342lim2222232xxxxxxxxxbxxx17.若xfxlim存在,且xfxxxfxlim2sin,则xf.答案：2sinxx难度等级：3;知识点：函数极限的计算分析：设axfxlim,则xfxxxfxlim2sin两边求极限得：axxax2sinlim,由此1sinlimxxax,即1a,所以2sinxxxf18.设当xxxxln12312时，与nx1为同阶无穷小,则n.答案：23难度等级：3;知识点：同阶无穷小的定义,等价无穷小的替换分析：nununxnxuuuuuuxuxxxxxxxx2300121lim21ln43lim1111ln113lim1ln123lim令,高等数学300题工学类（第一学期）CQU6/125当23n时,其极限等于2,故取23n19.曲线tyttxcos1sincos2上对应于4t的点处的法线斜率为.答案：12难度等级：1;知识点：参数方程所确定的函数的求导,导数的几何应用.分析先利用参数方程所确定函数的求导法则求出导数,再求法线的斜率.解121cossin2sinsindd44ttttttxy,所求法线的斜率为12.20.曲线xyln上与直线1yx垂直的切线方程为.答案：1xy难度等级：1;知识点：导数的几何应用.分析先求函数的导数为1的点,再求切线方程.解直线1yx的斜率为1,从而曲线的切线斜率为1.由11xy,得1x,这时01lny,即点)0,1(处的切线与直线1yx垂直,故所求切线方程为1xy.21.已知4)()2(lim000hxfhxfh,则)(0xf.答案：-2难度等级：1;知识点：导数的定义.分析利用导数定义求出极限,再确定)(0xf的值.解4)(22)()2(lim2)()2(lim0000000xfhxfhxfhxfhxfhh,故2)(0xf.22.已知6)2(f,则hfhfh2)2()2(lim0.答案：-3高等数学300题工学类（第一学期）CQU7/125难度等级：1;知识点：导数的定义.分析利用导数定义求出极限.解3621)2(21)2()2(lim212)2()2(lim00fhfhfhfhfhh.24.设函数)(xfy由方程1)cos(2exyeyx所确定,则曲线)(xfy在1,0处的法线方程为.答案：xy211难度等级：2;知识点：隐函数的求导,导数的几何应用.分析利用隐函数的求导法则先求出导数,再给出曲线的法线方程.解方程两边同时对x求导,得0))(sin()2(2yxyxyyeyx,解之得)sin()sin(222xyxexyyeyyxyx,所以2)1,0(y,法线的斜率为21,故法线方程为xy211.25.设函数)(xyy由参数方程23)1ln(ttyttx所确定,则22ddxy.答案：ttt)1)(56(难度等级：2;知识点：参数方程所确定的函数的求导,高阶导数.分析利用由参数方程所确定的函数的求导法则逐阶求出二阶导数.解25311123dd22tttttxy,tttttxy)1)(56(11156dd22.26.设函数)(xyy由方程yxxy2所确定,则0dxy.答案：xd)12(ln难度等级：2;知识点：导数的四则运算,隐函数的求导,复合函数的求导,微分的定义.分析利用隐函数和复合函数的求导法则求出导数,再求微分.高等数学300题工学类（第一学期）CQU8/125解方程两边同时对x求导,得yyxyxy1)(2ln2,解之得12ln22ln21xyyxyxy,当0x时1y,则12ln0xy,故0dxyxd)12(ln.27.设)(xf在0x处可导,则xxxfxxfx3)()(lim000.答案：)(320xf难度等级：2;知识点：导数的定义,极限的四则运算.分析利用导数定义和极限的四则运算求出极限.解xxxfxxfx3)()(lim000xxfxxfxxfxxfx)()(31)()(31lim00000.xxfxxfxxfxxfxx)()(lim31)()(lim31000000)(32)(31)(31000xfxfxf.28.设)(xf在0x处可导,且0)(0xf,则)()2(lim000xxfxxfxx.答案：)(10xf难度等级：2;知识点：导数的定义,极限的四则运算.分析利用导数定义和极限的四则运算求出极限.解)()2(lim000xxfxxfxxxxfxxfxxfxxfx)()(2)()2(21lim00000)(1)()(21000xfxfxf.29.设)(xf存在,则hhxfhxfh)3()2(lim0.答案：)(5xf难度等级：2;知识点：导数的定义,极限的四则运算.分析利用导数定义和极限的四则运算求出极限.解hhxfhxfh)3()2(lim0hxfhxfhxfhxfh3)()3(32)()2(2lim0.)(5)(3)(2xfxfxf.高等数学300题工学类（第一学期）CQU9/12530.设函数)(xf在0xx处可导,且当0x时,)()(00xfxxfy与xxx)cos2(tan是等价无穷小,则)(0xf.答案：-2难度等级：2;知识点：导数的定义,等价无穷小的定义,极限的四则运算.分析利用等价无穷小的定