概率论与数理统计第一章课件.ppt

概率统计概率论与数理统计第一章_1第一节随机试验第二节样本空间、随机事件第三节频率与概率第四节等可能概型（古典概型）第五节条件概率第一章概率论的基本概念第六节独立性第一章_2第一章概率论的基本概念确定性现象：统计规律性随机现象：在一定条件下必然发生的现象.在个别试验中其结果呈现出不确定性,在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象.Section1_1随机试验：第一节随机试验随机试验，简称试验.⑴试验可在相同的条件下重复进行；满足以下三个特点的试验称为⑵每次试验的可能结果不止一个，但所有的可能结果是明确可知的；⑶进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.Section2_1第二节样本空间、随机事件随机试验E的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间.记为S或.样本空间的元素，即E的每一个结果称为样本点.一、样本空间例1.抛一枚硬币，观察正面、反面出现的情况.={H,T}例2.将一枚硬币抛掷三次,观察正反面出现的情况.={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Section2_1_1例3.将一枚硬币抛掷三次，观察正面出现的次数.={0,1,2,3}例4.抛一颗骰子，观察出现的点数.={1,2,3,4,5,6}例5.观察某天通过某路口的汽车的数目.={0,1,2,3,…}例6.在区间［0,1］上任取一数，观察所取到的数.={x|0x1}Section2_2试验E的样本空间的子集，或试验E的满足某些条件的可能结果的集合，称为E的随机事件，简称事件.二、随机事件在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生.基本事件：由一个样本点组成的单点集.必然事件：样本空间，即每次试验一定发生的事件.不可能事件：空集，即每次试验一定不发生的事件.Section2_2_1随机事件与集合样本空间={}：全集样本点：中的元素随机事件A：由具有某些特性的样本点所组成的样本空间的一个子集，即A.AAASection2_2_2例7.将一颗骰子抛掷若干次，直到掷出的点数之和超过2为止.写出样本空间与事件A={恰好抛掷骰子一次}.解：={3,4,5,6,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,111,112,113,114,115,116}A={3,4,5,6}Section2_31.包含含义：事件A发生必然导致事件B发生.三、事件间的关系与事件的运算若AB，则称事件B包含事件A.若AB且BA，则称事件A与事件B相等，记作A=B.BABASection2_3_1事件A∪B发生.事件B的和事件或并事件.2.和（并）含义：当且仅当事件A、B中至少有一个发生时，事件A∪B={|A或B}称为事件A与ABBA称为n个事件的和事件；nkkA1nAAA,,21称为可列个事件的和事件.1kkA,,21AASection2_3_2事件A∩B发生.事件B的积事件或交事件.3.积（交）含义：当且仅当事件A与事件B同时发生时，事件A∩B={|A且B}称为事件A与AB称为n个事件的积事件；nkkA1nAAA,,21称为可列个事件的积事件.1kkA,,21AASection2_3_3事件A－B发生.4.差含义：当且仅当事件A发生、事件B不发生时，B事件B的差事件.事件A－B={|A且B}称为事件A与ABASection2_3_45.互不相容（互斥）含义：事件A与事件B不能同时发生.互不相容的，或互斥的.若A∩B=，则称事件A与事件B是BA可列个（有限个）事件两两互不相容.BSection2_3_56.对立（互逆）含义：在每次试验中，事件A与事件B必有一个互为对立事件或互为逆事件.若A∪B=且A∩B=，则称事件A与事件B发生，且仅有一个发生.A事件A的对立事件记作：.A.,AAAA.AA注意：.)(ABBABABA－BSection2_3_6例1.将一颗骰子抛掷两次，观察掷出的点数.令A={两次掷出的点数相同}，B={点数之和为10}C={最小点数为4}.⑴写出该试验的样本空间.⑵用样本点表示事件A,B,C以及A∪B,ABC,A－C,C－A,A∪(BC).解：={11,12,13,14,15,16,21,22,23,24,25,26,31,32,33,34,35,36,41,42,43,44,45,46,51,52,53,54,55,56,61,62,63,64,65,66}Section2_3_6_1A={11,22,33,44,55,66}B={46,55,64}C={44,45,46,54,64}A∪B={11,22,33,44,55,66,46,64}ABC=A－C={11,22,33,55,66}C－A={45,46,54,64}A∪(BC)={11,22,33,44,55,66,46,64}Section2_42.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A.四、事件运算的性质3.结合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C，A∩(B∩C)=(A∩B)∩C.4.分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).1.吸收律：若AB，则A∩B=A，A∪B=B.（交取小，并取大）.BBAABABABASection2_4_16.双重否定律：.AA⑴差积转换公式：.BAABABA⑵直和分解公式：将一事件分解为若干个互不相.ABBABABABBAABA5.德·摩根律：.BABABABA,其它的重要性质：容事件之和..BAABASection2_4_2例2.设A,B,C为三个事件，试用A,B,C表示下列事件：⑴A,B中A发生；只有A发生.⑵A,B,C中至少有一个发生；恰好有一个发生.⑶A,B,C中至少有两个发生；恰好有两个发生.⑷A,B,C中最多有一个发生.⑹A,B,C都发生；都不发生；不都发生.⑸A,B中至少有一个发生，但C不发生.解：⑴A；.BA⑵A+B+C；.CBACBACBASection2_4_2_1⑶AB+BC+ACBCACBACAB⑷CBACBACBACBACACBBA⑸CBA)(⑹ABCCBAABCCBAACBCABSection2_4_3⑴第2次出现正面.⑵只有第2次出现正面.⑶第2次才出现正面.⑷正面出现2次.例3.将一枚硬币抛掷三次，设表示第i次出现iA正面(i=1,2,3)，试用表示下列事件：iA解：⑴2A⑵⑷⑶321AAA21AA321321AAAAAA321321321AAAAAAAAASection2_4_4例4.设A,B为两个任意事件，化简下列事件并说明其含义：⑴.))()((BABABA⑵.BABABA解：⑴ABBABABA))()((⑵BABABABASection3_1第三节频率与概率定义在相同的条件下，进行n次试验，在这n次一、频率试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数.An比值称为事件A发生的频率，记作.nnA)(Afn频率具有以下性质：⑴；1)(0Afn⑵；1)(nf⑶若是两两互不相容的事件，则kAAA,,,21.)()(11kiinkiinAfAfSection3_2定义设试验E的样本空间为，对于E的任意二、概率一个事件A赋于一个实数P(A)，称为事件A的概率,如果集合函数P(·)满足以下三条公理：⑴非负性：对于任意事件A，有P(A)0；⑵规范性：对于必然事件，有P()=1；⑶可列可加性：对任意两两互不相容的事件列：，有,,,,21nAAA.)()(11iiiiAPAPSection3_3三、概率的基本性质⑴对于不可能事件，有P()=0；⑶设A,B是两个事件，若AB，则有的事件，则有⑵有限可加性：若是两两互不相容nAAA,,,21.)()(11niiniiAPAP,)()()(APBPABP.)()(APBP⑷对于任一事件A，有.1)(AP注意：由P(A)=0不能推出A是不可能事件.Section3_3_1⑹加法公式：对于任意两事件A,B有.)()()()(ABPBPAPBAP⑸求逆公式：对于任一事件A,有.)(1)(APAP⑺减法公式：对于任意两事件A,B有.)()()(ABPAPBAP)(1)(APAP)(1)(1)(BAPBAPBAPSection3_3_2⑻直和公式：对于任意两事件A,B有)()()()(BAPABPBAABPAP)()()()()(BAPBPBAPAPBAP)()()(ABPBAPBAPSection4_1第四节等可能概型（古典概型）设随机试验E的样本空间为，如果E满足：⑴有限性：只包含有限个基本事件.则称试验E为等可能概型或古典概型.⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性相同.对于古典概型，事件A的概率为：A包含的基本事件数中的基本事件总数P(A)=Section4_2例1.将一枚硬币抛掷三次，求下列事件的概率：⑴恰好有一次出现正面.⑵恰好有二次出现正面.⑶至少有一次出现正面.解：={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}⑴83)(AP⑵83)(BP⑶87)(CP87811)(1)(CPCPSection4_31.加法原理假设完成一件事情有n种不同的方式，而第i种排列组合的基本知识方式又有种不同的方法，则完成im),,3,2,1(ni这件事情共有种不同的方法.nmmmm212.乘法原理假设完成一件事情必须经过n个不同的步骤，而第i个步骤又有种不同的方法，则im),,3,2,1(ni完成这件事情共有种不同的方法.nmmmm21Section4_3_13.排列⑴不允许重复的排列：从N个不同的元素中任⑵允许重复的排列：从N个不同的元素中有放回取m(mN)个进行排列，排列数为.)!(!mNNPmN地任取m个进行排列，排列数为.mN4.组合不允许重复的组合：从N个不同的元素中任取m(mN)个进行组合，组合数为.)!(!!mNmNCmN39P39CSection4_4例1.（取球模型）设一袋中装有4个红球，5个白球.现按下列三种方式从袋中任取3个球，求取出的球中有2个红球，1个白球的概率.⑴一次取3个.⑵一次取1个，取后不放回.⑶一次取1个，取后放回.解：145⑴)(AP1524CC241315PCP无序有序Section4_4_1注意：⑴有序与无序要统一.⑵不放回地一次取一个，取n次⑶放回与不放回结果不同.与一次取n个结果相同.99914141315CCCC24380⑶)(CP39P13141315CCCC145⑵)(BPSection4_5例2.（抽签问题）设一袋中有10个球，其中白球2个，黑球8个.从中随机地逐一取球，取后不放回，求第8次取到白球的概率.解：)(AP810P1279CP51102注意：抽签的结果与抽签的顺序无关.Section4_5_1例如某商店有10件商品，其中有3件一等品，先后有2位顾客去购买这种商品，每人随机购买一件.求下列事件的概率：⑴第1位顾客买到一等品.⑵第2位顾客买到一等品.Section4_6例3.（取数问题）事件的概率.⑴三个数字中不含0和5.⑵三个数字中不含0或5.⑶三个数字中含0但不含5.从0～9十个数字中任取3个不同数字，求下列157解：⑴)(AP310C38CSection4_6_11514307⑵)(BP310C382828CCC或者)(1)(BPBP3101C18C1514⑶)(CP310C28CSection4_7例4.（组数问题）从0～9十个数字中任取4个数字，求能排成一个四