高等代数北大版4-7

一、分块乘法的初等变换二、应用举例§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例E分块成，作1次“初等变换”可得00mnEE0,0nmEE,0mnEPE0,0nPE0.mnEPE0;0mEP0;0mnEE一、分块乘法的初等变换§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例且有0.mnEABABPECDCPADPB0,0nmEABCDECDAB0,0nPABPAPBECDCD若A可逆，令．上式变为：1PCA1100mnEABABCDCAEDCAB特别地,§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例二、应用举例例1．A，D可逆，求．1T0,ATCD解：及1110000AADD10000mnEAACDDCAE由§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例111100mnEATCDCAE有11110ADCAD111000mnEACAED§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例例2．，求．1111111111111111A1A把A分块成1111,AAAAA111,11A11111112A则解：11.2A又111100AAEEEEAAEE1120,0AA111200AEAAEE§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例11111120000AEEEAEAEE1111100200AEEEEEEA1110041002AEEEEEEA111120000AEEEAEAEE§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例111111441144AAAA11110411042AEEEAA1.4A§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例例3．证明：(A、B为n级方阵)．ABAB作00,0nnEAAABEEBEB证：再作2n级消法矩阵这里,0nijijnEEPE中除的元素为外，其余元素皆为0．ijaijEij（,）由初等矩阵与初等变换的关系,得§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例,0nnEAE11111111nnnnaaaa111100nnnnnnEPPPPE而消法变换不改变行列式的值,1111000nnnnnnEAAAPPPPEEBEB0AEB,AB§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例ABAB.0ABEB0(1)nABBE(1)nABEAB又§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例例4.设,且，()ijnnAa11110kkkkaaaa1kn证明：存在下三角矩阵，使为上三角形．nnBBA证：对作归纳法．n当=1时，为上三角形．n11111111(),(),()AaBbBAab1n假设对级矩阵命题成立，即对1(1)(1)()ijnnAa结论成立，于是存在矩阵，满足:(1)(1)nn1B为上三角形．11BA§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例为上三角形．对A作分块1112,12,1,,,(,,,)nnnnnnnnnnnaAAaaaaaa则111111010nnnnAEAaAaA11111111100100nnnnABABBaAaAn().ijnnAa下面考虑级矩阵§4.7分块矩阵的初等变换及应用举例11100011EBBA11101BA即为所要求的下三角形．