高等代数北大版4-5

一、分块矩阵的概念二、分块矩阵的运算三、准对角矩阵§4.5矩阵的分块一、分块矩阵的概念定义设A是一个矩阵，在A的行或列之间加上一些线，把这个矩阵分成若干小块．用这种方法被分成若干小块的矩阵叫做一个分块矩阵．每一个分块的方法叫做A一种分法．§4.5矩阵的分块特殊分法按行分块12,sAAAA其中12(,,,),iiiinAaaa按列分块12,,,nAAAA，其中12,jjjnjaaAa设矩阵(),ijsnAa1,2,,.jn1,2,,.is§4.5矩阵的分块srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111,1、加法设A,B是两个矩阵，对它们mn一、分块矩阵的运算.11111111srsrssrrBABABABABA用同样的分法分块:其中子块与为同型矩阵，则ijAijB§4.5矩阵的分块2、数量乘法.1111srsrAAAAA设分块矩阵1111,,rssrAAAPAA则§4.5矩阵的分块,,11111111trtrststBBBBBAAAAA那末的行数的列数分别等于其中,,,,,,,2121ijjjitiiBBBAAAsrsrCCCCAB1111.,,1;,,11rjsiBACkjtkikij其中3、乘法把矩阵(),()ikmnkjnpAaBb分块成§4.5矩阵的分块112111222212.ssttstAAAAAAAAAA设分块矩阵111212122212,ttssstAAAAAAAAAA则4、转置§4.5矩阵的分块例1设,1011012100100001A,0211140110210101B.AB求§4.5矩阵的分块解分块成把BA,10011001A00001121,EEO1A0211140110210101B11BE21B22B§4.5矩阵的分块则2221111BBEBEAOEAB.2212111111BABBAEB又21111BBA11012101112111012043,114202141121221BA,1333§4.5矩阵的分块于是2212111111BABBAEBAB.1311334210410101§4.5矩阵的分块例2设0,ADCB证明：D可逆，并求其逆．其中A,B分别为k级和r级可逆矩阵，C为rk证0ADCBAB0,∴D可逆.设逆阵111122122,XXDXX§4.5矩阵的分块1112212200,0krEXXACBXXE于是即111211212200krAXEAXCXBXBXE111110ADBCAB.1111211212200XAXXBCAX§4.5矩阵的分块三、准对角矩阵,21sAAAAOO称为准对角矩阵.形式如iA的分块矩阵，其中为级方阵in(1,2,,),is定义§4.5矩阵的分块性质12,sAAAAOO12,sBBBBOO(1)设准对角矩阵A,B级数相同，并且分法相同,则则1122sSABABABAB，OO§4.5矩阵的分块1122sSABABABAB.OO(2)准对角矩阵可逆12sAAAAOO01,,iAis，1,,isiA可逆，111121sAAAA且OO§4.5矩阵的分块15003031021AA例，求解：115,511500011023A.131112121，§4.5矩阵的分块附：一些特殊分块乘积12,,,nAXA，①一般线性方程组11.nnxx即1212,,nnxxx，则有§4.5矩阵的分块1122(,,,)nnAAA1212(,,,),(,,,)mnnnAAAADdiag=②若1212(,,)mnnnADAAA=则OO§4.5矩阵的分块1122.mmAAA1212,(,,,),mnmmAAADdiagA=若1122mnmmAADAA则OO§4.5矩阵的分块若把矩阵B,C按行分块，则③设矩阵(),(),(),ijnmijmsijnsAaBbABCc于是有1112111212222212mmnnnmmnaaaBCaaaBCABaaaBC1122,1,2,,iiimmiaBaBaBCin即C的行向量组可由B的行向量组线性表出.()()RCRB§4.5矩阵的分块若把矩阵A,C按列分块，则于是有1112121222121212,,,,,,ssmsmmmsbbbbbbABAAACCCbbb1122,1,2,,jjmjmjbAbAbACjs即C的列向量组可由A的列向量组线性表出.()().RCRA§4.5矩阵的分块证：40()()ABnABRARBn例、为级方阵，证明，若，则.0,AB12,,,0,nABBB为B的列向量，iB12,,,0,nABABAB0,1,2,,iABin,即B的每一列向量皆为齐次线性方程组0AX的解向量.§4.5矩阵的分块12{,,}(),nrankBBBnRA故12,,nBBB可由的基础解系线性表出，0AX()(),RBnRA即()()RARBn.§4.5矩阵的分块12353(,,)AA例已知级方阵按列分块为，121325,(2,34,5)ABB且若，求.解法一：11322132,34,52,34,5B112132,3,5,4,520100A.13220,,2122322,3,52,4,512320,,§4.5矩阵的分块123130130(,,)205205040040BA5(20)100.解法二：130205040BA