高一必修五第一章解三角形复习-答案版

高中数学必修5第一章解三角形复习一、知识点总结【正弦定理】1．正弦定理:2sinsinsinabcRABC(R为三角形外接圆的半径).2.正弦定理的一些变式：sinsinsiniabcABC；sin,sin,sin22abiiABCRR2cR；2sin,2sin,2siniiiaRAbRBbRC；（4）RCBAcba2sinsinsin3．两类正弦定理解三角形的问题：（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）【余弦定理】1．余弦定理：2222222222cos2cos2cosabcbcAbacacBcbabaC推论：222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacbacCab.2.设a、b、c是C的角、、C的对边，则：①若222abc，则90C；②若222abc，则90C；③若222abc，则90C．3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角.（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.【面积公式】已知三角形的三边为a,b,c,1.111sin()222aSahabCrabc（其中r为三角形内切圆半径）【三角形中的常见结论】1.CBA(2)sin()sin,ABCcos()cos,ABCtan()tan,ABC2.若CBAcbaCBAsinsinsin若CBAsinsinsincbaCBA（大边对大角，小边对小角）3.三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边二、题型汇总题型1【利用正、余弦定理解三角形】解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．1、ABC中，,10,60,45aBAoo则b等于（）A52B102C1063D562、在ABC中，o60,3,2Bba，则A=()A.135B.45C.135或45D.903、在ABC中，abc、、分别是三内角ABC、、的对边,45,75CA,2b=,则此三角形的最小边长为（）A．46B．322C．362D．424、在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，已知2a，3c，1cos4B．（I）求b的值；（II）求sinC的值．题型2【求面积相关问题】5．在ABC中，31cos,32,23Cba，则ABC的面积为()A．33B．32C．34D.3解析：选C.∵cosC＝13，0Cπ，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.6.已知ABC中，角CBA,,的对边分别为cba,,，B为锐角且Abasin23（1）求角B的大小；（2）设3ca，22b，求ABC的面积。7.ABC的内角CBA,,所对的边分别为cba,,．向量)3,(bam与)sin,(cosBAn平行．（1）求A；（2）若,2,7ba求ABC的面积．题型3【判定三角形形状】8．在ABC中，角,AB均为锐角，且,sincosBA则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形9．在ABC中，若CABsinsincos2，则ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sinC=sin（A＋B）=sinAcosB+cosAsinB∴sin（A－B）＝0，∴A＝B10、A为ABC的一个内角,且127cossinAA,则ABC是______三角形.11、在△ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc.（I）求bcacb222,求角A的大小；（II）若BbAacoscos,判断△ABC的形状．题型4【解三角形在实际中的应用】12．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km13．如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30°，与O相距15海里的C处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A.12小时B．1小时C.32小时D．2小时解析：选B.在△OBC中，由余弦定理，得CB2＝CO2＋OB2－2CO·OBcos120°＝152＋252＋15×25＝352，因此CB＝35，3535＝1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时．1．在△ABC中，A＝π3，BC＝3，AB＝6，则C＝()A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π6解析：选C.由BCsinA＝ABsinC，得sinC＝22.∵BC＝3，AB＝6，∴AC，则C为锐角，故C＝π4.2．在△ABC中，a＝15，b＝20，A＝30°，则cosB＝()A．±53B.23C．－53D.53解析：选A.因为asinA＝bsinB，所以15sin30°＝20sinB，解得sinB＝23.因为ba，所以BA，故B有两解，所以cosB＝±53.3．在△ABC中，a＝32，b＝23，cosC＝13，则△ABC的面积为()A．33B．23C．43D.3解析：选C.∵cosC＝13，0Cπ，∴sinC＝223，∴S△ABC＝12absinC＝12×32×23×223＝43.4．已知△ABC中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则cosC的大小是________．解析：由3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得c2＝a2＋b2－23ab.根据余弦定理，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2－b2＋23ab2ab＝13，所以cosC＝13.答案：135．△ABC中，a＋b＝10，而cosC是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值．6．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝33b，解此三角形．解：由正弦定理知Aasin＝Bbsin30sin4＝Bsin34sinB＝23，b＝43．∠B＝60°或∠B＝120°∠C＝90°或∠C＝30°c＝8或c＝4．7．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcosC＝(2a－c)cosB，(Ⅰ)求∠B的大小；(Ⅱ)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面积．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sinBcosC＝2sinAcosB－cosBsinC，∴2sinAcosB＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)．又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sinA≠0，∴2sinAcosB＝sinA，即cosB＝21，B＝3π．(Ⅱ)∵b2＝7＝a2＋c2－2accosB，∴7＝a2＋c2－ac，又(a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ac＝3，∴S△ABC＝21acsinB，即S△ABC＝21·3·23＝433．