§1.3无穷小量与无穷大量

教案（首页）课题序号7授课班级授课课时2授课形式新授课授课章节名称§1.3无穷小量与无穷大量使用教具尺教学目的1.理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义2.会运用等价无穷小量求函数的极限教学重点高阶、低阶、同阶和等价无穷小的定义与判定.教学难点等价无穷小量的判定更新、补充、删减内容无课外作业18P习题1.32教学后记授课主要内容或板书设计§1.3无穷小量与无穷大量一、无穷小的定义定义1.13如果在自变量的某个变化过程中，函数xf的极限为零，那么称函数xf为该变化过程中的无穷小量，简称无穷小。二、无穷大的定义定义1.14如果在自变量的某个变化过程中，函数xf的的绝对值xf无限增大，那么称函数xf为该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。三、无穷大与无穷小的比较定理1.2在自变量的同一变化过程中，如果xflim=，那么xf1lim=0；反之，如果xflim=0（xflim0），那么xf1lim=。课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤1、学习任务能力目标：理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义知识目标：高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义；情感目标：培养学生的空间想象能力、数形结合的能力，学生不要墨守成规，要创新，要有自己的思想。通过联系生活，让学生认识到学习数学的实际需要，从而提高学习数学的积极性，形成积极的学习态度。为了充分调动学生学习的积极性，使学生变被动学习为主动愉快的学习，使本节课能在生动、有趣、高效中进行，使用“任务驱动法”、“启发教学法”、“协作学习法”和“探究学习法”等共同完成教学任务。教学过程一、案例[洗涤效果]在用洗衣机清洗衣物时，清洗次数越多，衣物上残留的污质就越少。当洗涤次数无限增大时，衣物上的污质量趋于零。二、讲授新课§1.3无穷小量与无穷大量一、无穷小的定义定义1.13如果在自变量的某个变化过程中，函数xf的极限为零，那么称函数xf为该变化过程中的无穷小量，简称无穷小。二、无穷大的定义定义1.14如果在自变量的某个变化过程中，函数xf的的绝对值xf无限增大，那么称函数xf为该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。三、无穷大与无穷小的比较定理1.2在自变量的同一变化过程中，如果xflim=，那么xf1lim=0；反之，如果xflim=0（xflim0），那么xf1lim=。例1、计算xlim3452323xxxx2、教学指导3、学生活动课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤解：xlim5233432xxxxxlim3232523341xxxxx30=0∴xlim3452323xxxx=结论：xlim01110111bxbxbxbaxaxaxannnnnnnn=nmnmnmbamm0四、无穷小的性质性质1.1有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质1.2有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质1.1有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论1.3常数与无穷小的乘积仍是无穷小。关于无穷大量几点说明:1.无穷大量不是一个很大的数,它是极限的概念;2.无穷大量的实质是极限不存在,为了表示记作xfxx0lim或xfxlim.3.若数列{nx}当n→+∞时，它项的绝对值无限增大，则{nx}是无穷大量。因此，证明一个变量是无穷小量的方法就是证明它的极限为0，证明一个变量是无穷大量的方法就是证明它倒数是无穷小量。五、无穷小的比较例：当x0时，=3x，=x2，=xsin但0limxxx32=00limx23xx=0limxxx3sin=31为了比较无穷小趋于零的快慢，引入无穷小阶定义1.15：设x，x都是在自变量的同一变化过程中的无穷小，且lim=C课堂教学安排教学过程主要教学内容及步骤（1）若C=0，则称是比高阶的无穷小。（2）若C0，则称与是同阶无穷小。特别：若C=1，则称与是等价无穷小，记为～（3）若C，则称是比低阶的无穷小。等价无穷小在求两个无穷小之比的极限时有重要作用。常用的几个等价无穷小代换：三、课堂练习18P习题1.31四、小结理解高阶、低阶、同阶及等价无穷小量的定义，掌握判定等价无穷小量的充要条件及常用等价无穷小量。五、布置作业18P习题1.324、任务训练5、课后作业