11第十一次课-向量的内积与正交向量组

第五章矩阵的特征值、特征向量和方阵的对角化§5.1向量的内积与正交向量组§5.2矩阵的特征值与特征向量§5.3相似矩阵与方阵的对角化§5.4实对称矩阵的对角化第十一次课了解内积、正交的概念了解正交向量组的性质掌握施密特(Schmidt)正交化方法了解正交矩阵的概念及性质教学内容教学目标及基本要求§5.1向量的内积与正交向量组施密特(Schmidt)正交化方法重点难点施密特(Schmidt)正交化方法2020年3月2日星期一3§5.1向量的内积与正交向量组一、向量的内积1.def：设列向量1212,,,TTnnaaabbb内积,T1212,nnbbaaab1122nnababab“对乘加”2020年3月2日星期一42.性质交换律：,,结合律：,,,kkk分配律：,,,22212,0naaa：当且仅当0时，,02020年3月2日星期一53.模(范数)：22212,naaa非负性：0齐次性：kk三角不等式：4.单位向量：1单位化：05.夹角：,cos6.正交：,0零向量与任意向量都正交2020年3月2日星期一6二、正交向量组与施密特正交化方法1．def：设有非零向量组12,m，任意两向量,0ijij，即：向量两两正交，则称12,m为正交向量组。(P132定义5.1.4)2．def：正交向量组12,m，且每个向量均为单位向量1i，则称12,m为标准正交向量组（正交规范向量组）。(P133定义5.1.5)2020年3月2日星期一73.定理1：正交向量组必线性无关.4.定理2：任一线性无关的向量组都可化为(标准)正交向量组.施密特正交化方法（递推公式）：正交化：111211211122112,3,,,,,,,,kkkkkkkkkkm单位化：1,2,,kkkkm正交向量组标准正交向量组(P132定理5.1.1)2020年3月2日星期一8例1已知3R中两个向量12111,211正交，求一个非零向量3，使123,,为正交向量组。(P133例5.1.2)2020年3月2日星期一9例2求一组非零列向量12,与已知向量3111正交，并把他们化成正交规范基。(P134例5.1.3)2020年3月2日星期一10三、正交矩阵与正交变换1.def：如果n阶方阵A满足TAAE，则称A为正交矩阵（简称正交阵）2.性质：1TAA1A：正交矩阵A的行（列）向量组是正交规范向量组。：(P135定义5.1.6)(P136定理5.1.2)2020年3月2日星期一11112111112112222212221212nnnnTnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaAAaaaaaa111212122212,,,,,,,,,nnnnnn100010001,0,1ijiiijij12,,,n是正交规范向量组2020年3月2日星期一12已知矩阵11022010102x是正交矩阵，则_______x例12020年3月2日星期一13例2已知A为正交矩阵，证明1*,,TAAA也为正交矩阵.2020年3月2日星期一143.Def：若P为正交阵，则线性变换yPx称为正交变换。TTTTyyyxPPxxxx即：正交变换不改变向量的长度(P136定义5.1.7)2020年3月2日星期一15内积：,1122nnababab“对乘加”模(范数)：22212,naaa单位化：0正交：,0正交向量组必线性无关.复习2020年3月2日星期一16施密特正交化方法（递推公式）：正交化：111211211122112,3,,,,,,,,kkkkkkkkkkm单位化：1,2,,kkkkm正交向量组标准正交向量组2020年3月2日星期一17小结内积：,1122nnababab“对乘加”模(范数)：22212,naaa单位化：0正交：,0正交向量组必线性无关.2020年3月2日星期一18施密特正交化方法（递推公式）：正交化：111211211122112,3,,,,,,,,kkkkkkkkkkm单位化：1,2,,kkkkm正交向量组标准正交向量组2020年3月2日星期一19提前预习作业习题5(A)：§5.2矩阵的特征值与特征向量1557P