2-1-2向量矩阵的概念与运算

《线性代数》下页结束返回第2章向量与矩阵2矩阵的概念与运算下页1向量的概念与运算《线性代数》下页结束返回第1节向量的概念与运算定义1n个数a1，a2，，an组成的有序数组(a1,a2,,an)，称为n维向量，记为a，其中ai(i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.a=(a1,a2,,an)，a1a2an.a=写成列的形式，称为列向量，记为n维向量写成行的形式，称为行向量，记为下页1.1向量(Vector)的概念《线性代数》下页结束返回下页(－a1,－a2,,－an)T，为向量a的负向量，记作－a.定义2称向量(0,0,,0)T为零向量，记作o.称向量定义3如果向量a=(a1,a2,,an)T与向量b=(b1,b2,,bn)T都是n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.a1a2an，a=本教材约定向量的形式为列向量，即即aT=(a1,a2,,an).《线性代数》下页结束返回向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):(1)a+b=b+a(2)a+(b+g)=(a+b)+g(3)a+o=a(4)a+(-a)=o(5)(k+l)a=ka+la(6)k(a+b)=ka+kb(7)(kl)a=k(la)(8)1a=a1.2向量的运算设,则(12,,,Tnaaa=α(12,,,,Tnbbb=β(1122,,,Tnnababab=+++α+β(12,,,Tnkkakaka=α,k为常数.下页定义4向量的加法定义5向量的数乘《线性代数》下页结束返回向量的加法几何意义下页《线性代数》下页结束返回下页向量的减法设a,b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:a-b,即对应分量相减.=a+(-b)1202,1,1031=-=-=-abg例1．设,23-+求abg.解：23-+abg12022311031=---+-260431091=---+-40.10-=-《线性代数》下页结束返回解：下页例2．设2,bg+且＝求ag.122,1,03=-=-ab2b+由于＝，ag12gba=-则（）121232g=故《线性代数》下页结束返回定义6设a=(a1,a2,,an)T与b=(b1,b2,,bn)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.即向量的内积例如，设a=(-1,1,0,2)T，b=(2,0,-1,3)T,则a与b的内积为(a,b)=(-1)2+10+0(-1)+23=4.nnniiibabababa+++==...22111(,)ab=....22111nnniiibabababa+++==下页《线性代数》下页结束返回下页定义6设a=(a1,a2,,an)T与b=(b1,b2,,bn)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.向量的内积nnniiibabababa+++==...22111向量内积的几何意义向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，也就是同方向的积。反映两个向量的在方向上的接近程度。向量夹角：如果向量a与b为非零向量，它们的夹角θ定义为(,)arccos||||.||||abab=《线性代数》下页结束返回内积的性质设a，b，g为任意n维向量，k为常数.(1)(a,b)=(b,a)；(2)(ka,b)=k(a,b)；(3)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)；(4)(a,a)0，当且仅当a=o时，有(a,a)=0.下页定义6设a=(a1,a2,,an)T与b=(b1,b2,,bn)T是两个n维向量，则实数称为向量a和b的内积，记为(a,b)，或aTb.向量的内积nnniiibabababa+++==...22111《线性代数》下页结束返回向量的长度定义7对于向量a=(x1,x2,,xn)T，其长度(或模)为22212||||(,).nxxxaaa==+++例如向量a=(-3,4)T的长度为22||||(,)(3)45.aaa==-+=下页向量长度的性质（了解）(1)||a||0，当且仅当a=o时，有||a||=0；(2)||ka||=|k|||a||(k为实数)；(3)三角不等式:||a+b||≤||a||＋||b||；(4)对任意向量a，b，有|(a,b|||a||||b||.(,)cos||||.||||abab=：由分析即得。《线性代数》下页结束返回长度为1的向量,称为单位向量.向量的单位化（标准化）下页若非零向量a的长度不等于1，令||||aaa=0则a0为单位向量，并称其为a的单位向量.由a到a0的运算，称为向量a的单位化（标准化）.||||aaa=011||||aa==《线性代数》下页结束返回例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两正交的，即(ei,ej)=0(ij).例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量与任意向量正交.正交向量组与标准正交向量组定义8如果向量a与b的夹角θ为90度，即下页若(a,b=0，则称向量a与b互相正交(垂直).其中1100e=201,0e=001ne=定义8’如果m个非零向量组a1,a2,,am两两正交，则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组a1,a2,,am的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为标准(单位)正交向量组.《线性代数》下页结束返回2.2矩阵的运算下页2.1矩阵的概念第2节矩阵的概念与运算《线性代数》下页结束返回问题：求解方程组2.1.0问题的提出下页12345123452345123457323222623543312xxxxxxxxxxxxxxxxxxx++++=+++-=-+++=+++-=1345234551622623xxxxxxxx---=-+++=(1)利用高斯消元法，②+①×-3，④+①×-5，立即可得以下方程组即是对线性方程组的系数和常数项进行必要的变换，系数中非零元的减少也就意味着同解方程组变得更为简单。《线性代数》下页结束返回在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性方程组的每个方程对应一个有序数组：a11x1+a12x2++a1nxn=b1a21x1+a22x2++a2nxn=b2am1x1+am2x2++amnxn=bm(a11a12a1nb1)(a21a22a2nb2)(am1am2amnbm)→→→→这些有序数组可以构成一个表a11a12a1nb1a21a22a2nb2am1am2amnbm这个表就称为矩阵.2.1.1矩阵的概念下页《线性代数》下页结束返回其中aij称为矩阵的第i行第j列的元素.一般情况下，我们用大写字母A，B，C等表示矩阵.mn矩阵A简记为A=(aij)mn或记作Amn.a11a12a1na21a22a2nam1am2amn定义1由mn个数aij(i=1,2,,m；j=1,2,,n)排成一个m行n列的矩形表称为一个mn矩阵，记作下页《线性代数》下页结束返回零矩阵所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.行矩阵与列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小写黑体字母a，b，x，y等表示.例如a=(a1a2an)，b1b2bmb=.负矩阵-a11-a12-a1n-a21-a22-a2n-am1-am2-amn称矩阵为A的负矩阵,记作–A.下页《线性代数》下页结束返回b11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n0a22a2n00ann如下形式的n阶方阵称为上三角矩阵.三角矩阵如下形式的n阶方阵称为下三角矩阵.方阵若矩阵A的行数与列数都等于n，则称A为n阶矩阵，或称为n阶方阵.下页《线性代数》下页结束返回a11000a22000annA=.对角矩阵如下形式的n阶方阵称为对角矩阵.对角矩阵可简单地记为A=diag(a11,a22,,ann).单位矩阵如下形式的n阶方阵称为单位矩阵，记为En或E.100010001E=.下页《线性代数》下页结束返回矩阵和行列式的区别与联系：(1)矩阵是一个数表，行列式是一个代数式,表示一个数;(2)不同阶的行列式可以是相等的，而两个矩阵相等必须是同阶的；(3)对于一个方阵而言，可以求出它的行列式。定义3设A=(aij)，B=(bij)为同阶矩阵，如果aij=bij(i=1,2,,m；j=1,2,,n)，则称矩阵A与矩阵B相等，记作A=B.下页定义2：若矩阵A与矩阵B的行数相同，列数相同，则称A和B是同型矩阵或同阶矩阵。《线性代数》下页结束返回2.2矩阵的运算定义1设A与B为两个mn矩阵A+Ba11+b11a12+b12a1n+b1na21+b21a22+b22a2n+b2nam1+bm1am2+bm2amn+bmn=.a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，b11b12b1nb21b22b2nbm1bm2bmnB=，A与B对应位置元素相加得到的mn矩阵称为矩阵A与B的和，记为A+B.即C=A+B.下页2.2.1矩阵的加法《线性代数》下页结束返回例1．设357220430123A=，132021570648B=，则357220430123A+B=132021570648+3+15+37+22+02+20+14+53+70+01+62+43+8=48924191007611.=矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn，则A+B=(aij+bij)mn.下页《线性代数》下页结束返回设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足如下运算规律：（1）交换律：A+B=B+A;（2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C);（3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵;矩阵的减法可定义为:nmijijba-=-+=-)()(BABA显然：若A=B，则A+C=B+C，A－C=B－C；若A+C=B+C，则A=B.（4）A+(－A)=O，其中O是与A同型的零矩阵.下页《线性代数》下页结束返回a11a12a1na21a22a2nam1am2amnA=，定义2设A=(aij)为mn矩阵则以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的mn矩阵称为数k与矩阵A的积，记为kA.即ka11ka12ka1nka21ka22ka2nkam1kam2kamnkA=.2.2.2数与矩阵的数乘法下页《线性代数》下页结束返回矩阵的数乘：设A=(aij)mn，则kA=(kaij)mn.例2．设357220430123A=，则3A357220430123=3333537323230343330313233=915216601290369=.下页《线性代数》下页结束返回（5）k(A+B)=kA+kB