小学数学学习理论

第三章小学数学学习理论中国古代，“学”和“习”是分开的．《说文》中讲到：“习，数飞也”，意思是鸟反复地练习飞。孔子的“学而时习之，不亦乐乎？”，就是把“学”与“习”看成是获取知识、技能的两种不同方式，“学”是知识、技能的获得；“习”是对已学的知识、技能的练习与巩固；强调“学习”是一个反复实践并获得真知的过程。第三章小学数学学习理论“学习”作为心理学中的一个术语，其基本内涵大致可以分为三类：学习是指认知结构的改变（认知学派）；学习是通过对情境的领悟或认知并形成认知结构而实现的，强调头脑内部心理的因素及其作用，主张对学生应着重研究脑内的加工、制作过程和内在条件。学习是指刺激---反应间联结的加强（行为主义）；第一，以刺激反应作为所有心理现象的最高解释原则，把一切学习都归结于刺激反应联结的形成。第二，强调学习发生的原因在于外部的强化，主张研究学习就在于研究外部条件，而忽视对学习内在过程和内部条件的研究。学习是指自我概念的变化（人本主义）。小学数学学习过程操作阶段相互作用阶段输入阶段预期目标情境形成新的数学认知结构产生新的数学认知结构原有的数学认知结构?新的学习内容第三章小学数学学习理论数学学习数学学习是根据教学计划进行的在数学教师指导下，学生从已有的经验出发，主动获得对数学知识的理解与数学技能的掌握，并在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展的过程。更具体地说,数学学习是指学生在教育情境中，以数学语言、符号为中介,自觉地、积极主动地掌握数学概念、公式、法则、定理,形成数学活动的经验,发展数学技能与能力的过程。一、小学数学认知学习理论（一）小学数学认知学习的特点1.儿童的数学认知起点是其生活常识2.儿童的数学认知是一个主体性的数学活动过程3.儿童的数学认知思维具有明显的个性化特征4.儿童的数学认知是一个“再发现”与“再创造”的过程（二）皮亚杰的发生认识论与数学学习1、发生认识论①认知结构：个人在感知及理解客观现实的基础上在头脑中形成的一种心理结构。②适应表现为同化和顺应的双向运动同化：由外向个体内部进行的过程，也就是把新信息、新经验结合到原有认知结构中去的过程，即类化新经验。顺应：由内向外，向周围环境运动的过程，也就是原有认知结构去适应周围新信息，新经验的过程。同化是认知内容的扩大，即量的增加，属认知广度的增加；顺应是认知内容的改变，即质的不同，属认知深度的增长。③适应中的平衡认知结构的发展是通过同化和顺应的不断平衡来实现的。不平衡→→平衡→→不平衡（二）皮亚杰的发生认识论与数学学习2、认知发展阶段①感知运动阶段（0—2岁）这一阶段主要是动作活动并伴有协调感觉，属于智慧萌芽时期。②前运算阶段（2--7岁）这一阶段出现了语言、符号，具有表象思维能力，但缺乏可逆性③具体运算阶段（7---11，12岁）这一阶段出现了逻辑思维和零散的可逆性，但一般还只能对具体事物或形象进行运算。④形式运算阶段（11，12—14，15岁）能在头脑中把形式与内容分开，使思维超出所感知的具体事物或形象，进行抽象的逻辑思维和命题运算运算是皮亚杰理论中最核心最关键的概念，他认为知识总是与动作联系在一起的，动作产生智慧，而运算就是内化了的、可逆的、组成结构（系统）且具有守恒性的动作。（二）皮亚杰的发生认识论与数学学习3、认知发展的几个决定因素①成熟。成熟是动力因素。他说我们不能教一个五岁的儿童做微积分计算题，因为他不具有能够同化这种计算式的思维结构。②经验。指儿童自己积累的物理的和试验的经验。儿童通过实际摆弄物体如球，能对他产生想象及在脑子里按照过去的经验运用想象去重现它。（数学家小时排列石子）③社会中介。即社会与学校在教育过程中的指导。④自我调节。孩子从一个确定的年龄开始自我纠正，这个行为又反作用于孩子并唤起新的思维模式。（二）皮亚杰的发生认识论与数学学习4、发生认识论对小学数学学习的启示①强调活动、操作对认知发展的价值②揭示同化、顺应、平衡的建构过程，重视认知结构的作用③在小学数学教学中要不断的设计“不平衡”的问题情境（三）小学数学认知学习过程的一般模式数学学习作为一种学习活动，有其发生、发展的过程，这个过程具有一般的模式．依据学生认知结构的变化，数学学习过程的一般模式可用下图表示：二、小学数学接受学与发现学习理论（一）接受学习与发现学习概述1、接受学习接受学习是指学习者将以现成定论形式呈现给自己的学习材料和自己已有的认知结构联系起来，以实现对这种学习材料掌握的学习形式。2、发现学习发现学习是指学习者在教师不讲述的情况下，依靠自己的力量去获得新知识、寻求解决问题方法的一种学习方式。二、小学数学接受学与发现学习理论（一）接受学习与发现学习概述3、接受学习与发现学习的区别在接受学习中，要学习的内容，是以或多或少的最后形式来介绍给学习者的，学习这种活动并不涉及到学习者本人方面的任何发现，只要求他把材料内化，并且合并到他的认知结构中去，以便在将来某个特定时期可以再现或其它用途。而发现学习的本质特征就是所要学习的主要内容末先给出，而必须由学习者在内化以前去发现它。4、死记硬背的学习与有意义的学习奥苏贝尔将学习从二个方面来区分，一方面是接受的或发现的学习，另一方面是死记硬背的或有意义的学习。•两种划分的关系机械学习和有意义学习、接受学习和发现学习是划分学习的两个维度。这两个维度之间存在着交叉，即接受学习可以是机械学习也可以是有意义学习，发现学习可以是机械学习也可以是有意义学习(两种分类的关系如下图)。（二）有意义的接受学习1、有意义的接受学习的前提条件奥苏贝尔具备有意义接受学习的条件有二个，一是主观条件，二是客观条件，二者缺一不可。•首先，有意义的接受学习只能发生于具备有意义学习倾向的学生。•其次，只有把学习任务与学习者现有智力结构联系起来，学习才是有潜在意义的。（二）有意义的接受学习2、阻碍有意义的接受学习的因素①学习者不具备对一些数学概念的有意义学习所需要的智力发展水平。②学习者的学习动力没有充分地被激发起来。③有些教师错误地认为自己所列的定义、法则和证明步骤对学生来说是有意义的。3、有意义接受学习对小学数学学习的启示奥苏贝尔的名言是：“影响学习的惟一最重要的因素就是学习者已经知道了什么。”（二）有意义的发现学习1、有意义的发现学习的特征①发现的价值在于培养学生的探究能力。②发现的过程有助于直觉思维甚至创造思维的发展。③发现的行为有助于激发学生的学习兴趣、求知欲和自信心。④“发现学习”还有助于学生记忆的保持。（二）有意义的发现学习2、有意义的发现学习的条件（1）在学生智能及认知方面（智能及认知发展是发现学习的基本条件）①儿童的智能对发现学习的成败起着重大作用。（智能差异学习成果有显著差异）②儿童的认知发展和认知结构影响着发现学习能否有效和有收获。③儿童解决问题的动机是否激发得好是采用发现法的依据之一。（二）有意义的发现学习2、有意义的发现学习的条件（1）在学生智能及认知方面（2）在学习对象方面①发现学习的课题材料应给以适当的组织，使内容具有连贯的意义。②问题的繁简程度要适合于儿童再发现。③发现学习的对象适合那些可以引出多种假设、原理，并可以编成再发现过程的课题（3）在教师指导方面①教师的指导取决于学习材料的难度②及时干预③引导发现过程（避免教师或学生全部控制）3、布鲁纳的认知----发现理论对小学数学学习的启示（1）、突出学习的认知过程，明确认知结构的含义他认为学习的目的就是要掌握学科知识的认知结构，教学也就是要教给学生最佳知识结构。因而小学数学教学就要寻求“教学最佳顺序”。（2）、“发现法”对小学数学教学的作用“发现法”对小学数学尤其是低中年级的教学有积极意义。它体现了学生是学习的主体，有利于激发学生的学习动机；它强调学习内在动机的诱发，有利于学生创造性思维的培养。三、小学数学建构主义学习理论1、建构的意义建构：一，指对新信息的理解是通过运用已有的经验，超越所提供的信息而建构成的。二，从记忆系统中提取人信息本身也要按照具体情况进行建构，而不仅仅是提取。这一学派在研究学习时常常问“你是怎么知道的”而不是问“你知道吗”，在他们看来，如果儿童不能解释他是怎么知道的，就说明他实际上还没学会。2、建构主义基本主张（1）、学习是一个积极主动的建构过程。学习者不是被动接受外在信息，而是根据先前的认知结构主动地和有选择地知觉外在信息，建构当前事物的意义。（2）、知识是个人经验的合理化，而不是说明世界的真理。因为个体先前的经验毕竟是有限的，在此基础上构建知识的意义，无法确定构建出来的知识是否就是世界的最终写照。（3）、知识的建构并不是任意的和随心所欲的。建构知识的过程中必须与他人磋商并达成一致，来不断加以调整和修正。在这个过程中，不可避免受到社会文化因素的影响。（4）、学习者的建构是多元化的。由于事物存在的复杂多样，学习情感存在有一定的特殊性，以及个人先前经验存在的独特性每个学习者对事物意义的建构将是不同的。3、建构主义的学生观（1）、每个学习者都有自身的经验、信念和背景知识（这是其建构的基础）（2）、学生通过同化、顺应来获取知识，具有主动性的建构。（3）、把教学视为学生主动建构的过程。教学过程不仅是师生互动，而是教师与学生以及学生之间多边互动，教师与学生都应该是建构知识过程的合作者。4、建构主义的学习观（1）、积极的学习（2）、建构性的学习（3）、累积性的学习（4）、目标指引的学习（5）、诊断性学习与反思性学习。（核心特征）5、建构主义对小学数学教学的启示（1）、要充分发挥学生学习的自主性（2）、研究学习规律，促进学生主动建构§3.2数学知识的学习数学知识的学习，主要包括数学概念和数学命题(公式、定理、法则等)的学习。现就它们的学习过程分别阐述如下。3.2.1数学概念的学习（一）概念的本质（二）概念的内涵与外延1、内涵与外延的含义2、内涵与外延之间的关系(三)概念间的关系1、同一关系。2、交叉关系。3、从属关系(包含关系)。4、对立关系(反对关系)。5、矛盾关系。定义是揭示概念的内涵的逻辑方法,它是明确概念的主要方法之一。1、定义的组成作为一个正确的定义,一般由三个要素组成。即被定义的概念、下定义的概念和联系词。2、定义的方法（1）“种加类差”定义法:给数学概念下定义常用“种加类差”的方式。其公式为：被定义的概念(类)=最邻近的种概念(种)+类差。（2）发生定义法(也称构造性定义法)（3）列举定义法:用列举概念的外延给概念下定义的方法称为列举定义法。（4）约定式定义法:有些被定义概念,不易揭示它的内涵,以客观实践为基础,直接指出概念的外延,把它规定下来,这样的定义法称为约定式定义法。3、下定义的规则定义要下得正确,必须遵守以下四条规则:（1）定义应当是相称的.（2）定义不能循环。（3）定义必须清楚确切。（4）定义一般不用否定形式。（五）概念的划分概念的划分(或分类)是从概念的外延方面明确概念的逻辑方法。1、划分的三个要素一个正确的划分,通常由三个要素构成,即母项、子项和划分的依据。2、划分的类别划分有一次划分、连续划分和二分法等基本形式。3、划分的规则(六)数学概念的构成数学概念一般由以下基本成分构成：1.数学概念名称2.数学概念定义3.数学概念例证4.数学概念属性(七)数学概念学习的基本形式数学概念的学习一般有两种基本形式：一是概念形成，二是概念同化。1.数学概念形成2.数学概念同化3.数学概念形成与数学概念同化的比较(八)影响数学概念学习的因素1.学生原有的认知结构2.有关新概念的感性材料和知识经验3.学生的抽象概括能力3.2.2数学命题的学习(一)数学命题学习的及其分类数学中的定理、公式和法则统称为数学命题，将学生对这些知识的学习称之为数学命题的学习。数学命题是由概念组成的，反映的是若干个数学概念之间的关系，因此数学命题的学习层次和复杂程度均高于数学概念学习。与数学概念的学习一样，数学命题学习也是新旧知识相互作用，并形成新的认知结构的过程。(二)数学命题学习的基本形式数学命题学习的关键是获得数学概念之间关系的理解，而数学概念之间各种关系的获得又依赖于新命