余弦定理练习题及答案解析

余弦定理练习题及答案解析1．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是()A．8B．217C．62D．219解析：选D.根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC＝16＋36－2×4×6cos120°＝76，c＝219.2．在△ABC中，已知a＝2，b＝3，C＝120°，则sinA的值为()A.5719B.217C.338D．－5719解析：选A.c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋32－2×2×3×cos120°＝19.∴c＝19.由asinA＝csinC得sinA＝5719.3．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．解析：设底边边长为a，则由题意知等腰三角形的腰长为2a，故顶角的余弦值为4a2＋4a2－a22·2a·2a＝78.答案：784．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解：法一：根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，2b＝a＋c，∴(a＋c2)2＝a2＋c2－2accos60°，整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.∴△ABC是正三角形．法二：根据正弦定理，2b＝a＋c可转化为2sinB＝sinA＋sinC.又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，∴2sin60°＝sinA＋sin(120°－A)，整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，C＝60°.∴△ABC是正三角形．课时训练一、选择题1．在△ABC中，符合余弦定理的是()A．c2＝a2＋b2－2abcosCB．c2＝a2－b2－2bccosAC．b2＝a2－c2－2bccosAD．cosC＝a2＋b2＋c22ab解析：选A.注意余弦定理形式，特别是正负号问题．2．(2011年合肥检测)在△ABC中，若a＝10，b＝24，c＝26，则最大角的余弦值是()A.1213B.513C．0D.23新课标第一网解析：选C.∵c＞b＞a，∴c所对的角C为最大角，由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝0.3．已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是()A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定解析：选B.∵42＝16＞22＋32＝13，∴边长为4的边所对的角是钝角，∴△ABC是钝角三角形．4．在△ABC中，已知a2＝b2＋bc＋c2，则角A为()A.π3B.π6C.2π3D.π3或2π3解析：选C.由已知得b2＋c2－a2＝－bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，又∵0＜A＜π，∴A＝2π3，故选C.5．在△ABC中，下列关系式①asinB＝bsinA②a＝bcosC＋ccosB③a2＋b2－c2＝2abcosC④b＝csinA＋asinC一定成立的有()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C.由正、余弦定理知①③一定成立．对于②由正弦定理知sinA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin(B＋C)，显然成立．对于④由正弦定理sinB＝sinCsinA＋sinAsinC＝2sinAsinC，则不一定成立．6．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A.14B.34C.24D.23解析：选B.∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，Xkb1.com∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.二、填空题7．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________.解析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即49＝25＋AC2－2×5×AC×(－12)，AC2＋5AC－24＝0.∴AC＝3或AC＝－8(舍去)．答案：38．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边长是________．解析：解方程可得该夹角的余弦值为12，由余弦定理得：42＋52－2×4×5×12＝21，∴第三边长是21.答案：219．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8，则B的大小是________．解析：由正弦定理，得a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8.不妨设a＝5k，b＝7k，c＝8k，则cosB＝5k2＋8k2－7k22×5k×8k＝12，∴B＝π3.答案：π3三、解答题10．已知在△ABC中，cosA＝35，a＝4，b＝3，求角C.解：A为b，c的夹角，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∴16＝9＋c2－6×35c，整理得5c2－18c－35＝0.解得c＝5或c＝－75(舍)．由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝16＋9－252×4×3＝0，∵0°＜C＜180°，∴C＝90°.11．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边长，若(a＋b＋c)(sinA＋sinB－sinC)＝3asinB，求C的大小．解：由题意可知，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，于是有a2＋2ab＋b2－c2＝3ab，即a2＋b2－c22ab＝12，所以cosC＝12，所以C＝60°.12．在△ABC中，b＝asinC，c＝acosB，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，代入c＝acosB，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又∵b＝asinC，∴b＝a·ca，∴b＝c，新课标第一网∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．