2019-2020年江苏专用高考数学二轮复习专题一三角函数和平面向量微专题2平面向量数量积问题的常用

微专题2平面向量数量积问题的常用处理策略微专题2平面向量数量积问题的常用处理策略题型一利用基底向量法求解例1(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD的两个三等分点, · =4, · =-1,则 · 的值是.BACABFCFBECE答案 78解析设 =a, =b,则 · =(a+3b)·(-a+3b)=9|b|2-|a|2=4, · =(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=-1,解得|a|2= ,|b|2= ,则 · =(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2= .【方法归纳】基底法求解向量问题时基底的选择很重要,用基底表示其他向量是求解的关键.由基底的定义可得只要两个向量不共线都可以作为基底,但实际上基底的选择是很有讲究的,一般地,选择长度、夹角已知的向量为基底,若没有长度、夹角已知的向量,则选择与题中涉及的向量都相关的不共线向量作为基底.BDDFBACABFCF13858BECE781-1在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点, · =2,BC=2,则 · =.BECEBFCF答案- 14解析设 =a, =b,则|a|=1, · =(a+2b)·(-a+2b)=4|b|2-|a|2=2,则|b|2= ,则 · =(a+b)·(-a+b)=|b|2-|a|2=- .BDDFBECE34BFCF141-2(2018常州教育学会学业水平检测)在△ABC中,AB=5,AC=7,BC=3,P为△ABC内一点(含边界),若满足 =  +λ (λ∈R),则 · 的取值范围为.BP14BABCBABP答案 525,84解析取 =  , =  ,由点P为△ABC内一点(含边界),且 =  +λ ,得点P在线段DE上,λ∈ ,在△ABC中,由余弦定理得cosB= =- ,则 · = ·   +λ  =  +λ · = - λ∈ .BD14BACE14CABP14BABC30,42594925312BABPBA14BABC142BABABC254152525,841-3在△ABC中,AB=4,AC=3,点P是边BC的垂直平分线上任意一点,则 · =.BCAP答案- 72解析取BC的中点D,则DP⊥BC,则 · = ·( + )= · + · = · =( - )· ( + )= (| |2-| |2)=- .BCAPBCADDPBCADBCDPBCADACAB12ACAB12ACAB72题型二利用坐标法求解例2如图,△ABC为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以A为圆心,1为半径的圆分别交AB,AC于点E,F,点P是劣弧 上的一点,则 · 的取值范围是. EF︵PBPC答案[-11,-9]解析以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(4,0),C(-2,2 ).设P(cosθ,sinθ),θ∈ , · =(4-cosθ,-sinθ)·(-2-cosθ,2 -sinθ)=(4-cosθ)(-2-cosθ)-sinθ(2 -sinθ)=-7-2 sinθ-2cosθ=-7-4sin θ+  .因为θ∈ ,所以θ+ ∈ ,sin θ+  ∈ ,-7-4sin θ+  ∈[-11,-9],即 · 的取值范围是[-11,-9].320,3PBPC333620,365,6661,126PBPC【方法归纳】特殊图形中的向量运算,尤其是向量的取值范围问题,要优先考虑坐标法,即建立适当的平面直角坐标系,写出或设出相关点的坐标,利用向量的坐标运算求解,向量的坐标运算的实质是将向量问题代数化,是应用十分广泛的方法.2-1在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若 · =1,则 · 的值为.3AEBFABAF答案2解析以点A为坐标原点,AD、AB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系, 则D(2,0),B(0, ),E(1, ),设F(2,y),y∈[0, ],则 · =(1, )·(2,y- )= y-1=1,即y= ,则F 2,  ,则 · =(0, )· 2,  =2.333AEBF3332323ABAF3232-2在平行四边形ABCD中,∠A= ,边AB、AD的长分别为2、1,若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足 = ,则 · 的最大值为.3||||BMBC||||CNCDAMAN答案5解析以A为原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于直线AB的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设 = =λ(0≤λ≤1),所以| |=λ,| |=2λ,所以M 2+ , λ ,N ,所以 · =5-4λ+ λ-λ2+ λ=-λ2-2λ+5=-(λ+1)2+6.因为λ∈[0,1],所以 · ∈[2,5],所以 · 的取值范围是[2,5],则 · 的最大值为5.||||BMBC||||CNCDBMCN2λ32532,22λAMAN5434AMANAMANAMAN2-3如图,在△ABC中,已知AB=3,AC=2,∠BAC=120°,D为边BC的中点.若CE⊥AD,垂足为E,则 · 的值为.EBEC答案- 277解析以点A为坐标原点, 方向为x轴正方向,建立平面直角坐标系,则B(3,0),C(-1, ),D 1,  ,AD:y= x与CE:2x+ y-1=0联立解得E  ,  ,则 · =  ,-  · - ,  =- - =- .AB3323232737EBEC1973797637171491849277题型三利用极化恒等式求解例3(2017江苏南通二调)如图,在四边形ABCD中,O为BD的中点,且OA=3,OC=5.若 · =-7,则 · 的值是. ABADBCDC答案9解析 · =( - )·( - )=( + )·( - )=OC2-OD2.同理可得 · =AO2-OD2=-7,所以 · =OC2-OD2=OC2-AO2-7=9.BCDCOCOBOCODOCODOCODABADBCDC【方法归纳】设a,b是平面内的两个向量,则有a·b=   2-   2,这就是极化恒等式.在△ABC中,若AD是边BC上的中线,则 · = - ,极化恒等式将向量的数量积转化为中线长与半底边长的平方差,建立起向量与几何长度(数量)之间的桥梁,实现向量与几何、代数的巧妙结合.2ab2abABAC2AD2BD3-1(2017苏锡常镇四市调研)在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠A=60°,若点P满足 = +λ ,且 · =1,则实数λ的值为.APABACBPCP答案1或- 14解析取BC的中点D,连接PD,由AB=1,AC=2,∠A=60°,得BC= ,∠ABC=90°,∠ACB=30°.由 = +λ ,得 =λ ,即AC∥BP,易知∠CBP=30°.因为D为BC的中点,所以 · =PD2-DC2=1.在△BPD中,PD2=BD2+BP2-2BD·BP·cos∠DBP,所以 +4λ2-2× ×2λ× =1+ ,所以λ=1或λ=- .3APABACBPACBPCP34323234141.正五边形ABCDE的边长为2 ,则 · 的值为.3ACAE答案6解析因为五边形ABCDE是正五边形,所以每一个内角是108°,∠CAE=∠CEA=72°.取AE的中点F,连接CF,则CF⊥AE.又正五边形ABCDE的边长为2,则 · =| |·| |·cos∠CAE=| |·| |=  =6.3ACAEAEACAEAF122AE2.在△ABC中,已知B= ,| - |=2,则 · 的取值范围是.3ABACABAC答案 - ,+∞ 14解析以点B为坐标原点,BA所在直线为x轴,过B且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,则C(1, ).设A(x,0),x0,则 · =(-x,0)·(1-x, )=x2-x= x-  2- ≥- ,则 · 的取值范围是 - ,+∞ .3ABAC3121414ABAC14编后语•同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。•一、听理科课重在理解基本概念和规律•数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。•作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。•二、听文科课要注重在理解中记忆•文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。•三、听英语课要注重实践•英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。2020/3/2最新中小学教学课件22thankyou!2020/3/2最新中小学教学课件233.在△ABC中,AB=3,AC=2,∠BAC=120°, =λ .若 · =- ,则实数λ的值为.BMBCAMBC173答案 13解析由题意可得 · =3×2× -  =-3, · =( + )· =( +λ )· =[(1-λ) +λ ]·( - )=(1-2λ) · +λ -(1-λ) =-3(1-2λ)+4λ-9(1-λ)=19λ-12=- ,解得λ= .ABAC12AMBCABBMBCABBCBCABACACABABAC2AC2AB173134.在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.点E和F分别在线段BC和DC上,且 =  ,DF=  ,则 · 的值为.BE23BC16DCAEAF答案 2918解析以点A为坐标原点,AB所在直线为x轴,过点A且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),C  ,  ,D  ,  .又 =  , =  ,则E  ,  ,F  ,  ,所以 · =  ,  · = + = .32321232BE23BCDF16DC53332332AEAF533323,32109122918