2-9线性空间

第九节线性空间一、线性空间的定义二、线性空间的维数、基与坐标三、基变换与坐标变换线性空间的元素统称为“向量”,但它可以是通常的向量,也可以是矩阵,多项式,函数等各种各样的研究对象.线性空间是一个集合;对所定义的加法及数乘运算封闭;所定义的加法及数乘符合线性运算.线性空间是二维,三维几何空间及n维向量空间的推广,它在理论上具有高度的抽象性和概括性.一、线性空间的定义线性空间是线性代数最基本的概念之一,也是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推广.线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题.线性空间的定义定义:设V是一个非空集合,R为实数域.如果对于任意两个元素,V,总有唯一的一个元素V与之对应,称为与的和(简称加法运算),记作=+.若对于任一数R与任一元素V,总有唯一的元素V与之对应,称为数与的积(简称数乘运算),记作=.如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):如果上述的两种运算满足以下八条运算规律,那么,就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):(1)加法交换律:+=+;(2)加法结合律:(+)+=+(+);(3)零元素:存在OV,对任一向量,有+O=;(4)负元素:对任一元素V,存在V,有+=O,记=–;(5)1=;(6)数乘结合律:k(l)=(lk);(7)数乘对加法的分配律:k(+)=k+k;(8)数量加法对数乘的分配律:(k+l)=k+l.设,,,OV,1,l,kR,说明1.凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运算统称为线性运算.说明2.向量(线性)空间中的元素称为向量,但不一定是有序数组.说明3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空间.(1)如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是通常实数间的加、乘运算,则只需检验运算的封闭性.线性空间的判定方法:例1:实数域上的全体mn矩阵,对矩阵的加法和数乘运算构成实数域R上的线性空间,记作Rmn.Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.例2:次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n,即P[x]n={p(x)=a0+a1x+···+anxn|a0,a1,···,anR}对通常多项式加法,数乘多项式的乘法构成向量空间.对p(x)=a0+a1x+···+anxnQ[x]n,0R,0p(x)=0(a0+a1x+···+anxn)=0+0x+···+0xn=0Q[x]n.所以Q[x]n对线性运算不封闭.例3:正弦函数的集合S[x]={s(x)=Asin(x+B)|A,BR}对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.对s1(x)=A1sin(x+B1),s2(x)=A2sin(x+B2)S[x],R,由于,s1(x)+s2(x)=A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2)=(a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx)=Asin(x+B)=(a1+a2)cosx+(b1+b2)sinxS[x],s1(x)=A1sin(x+B1)=(A1)sin(x+B1)S[x],所以,S[x]是一个线性空间.(2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是通常的实数间的加,乘运算,则必需检验是否满足八条线性运算规律.对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘:(x1,x2,···,xn)T=(0,0,···,0)T不构成线性空间.例4:n元实有序数组组成的全体Sn={x=(x1,x2,···,xn)T|x1,x2,···,xnR}但1x=0x,故不满足第(5)条运算规律.即所定义的运算不是线性运算,所以Sn不是线性空间.显然,Sn对运算封闭.二、线性空间的维数、基与坐标线性空间的基与维数已知:在Rn中,线性无关的向量组最多由n个向量组成,而任意n+1个向量都是线性相关的.问题1:在线性空间中是否也可以定义线性无关的概念?问题2:线性空间的一个重要特征——在线性空间V中,最多能有多少线性无关的向量?定义:设V为线性空间,对1,2,···,mV,如果存在不全为零的数k1,k2,···,kmR,使k11+k22+···+kmm=0则称1,2,···,m是线性相关的,否则称它是线性无关.定义:在线性空间V中,如果存在n个元素1,2,···,nV,满足:(1)1,2,···,n线性无关;(2)V中任意元素总可以由1,2,···,n线性表示,则称1,2,···,n为线性空间V的一个基,称n为线性空间V的维数.当一个线性空间V中存在任意多个线性无关的向量时,就称V是无限维的.维数为n的线性空间V称为n维线性空间,记作Vn.若1,2,···,n为Vn的一个基,则Vn可表示为:Vn={=x11+x22+···+xnn|x1,x2,···,xnR}元素在给定基下的坐标定义:设1,2,···,n为线性空间Vn的一个基,对任意V,总有且仅有一组有序数x1,x2,···,xn,使=x11+x22+···+xnn,则称有序数组x1,x2,···,xn为元素在基1,2,···,n下的坐标,并记作=(x1,x2,···,xn)T.例5:在线性空间P[x]4中,p0=1,p1=x,p2=x2,p3=x3,p4=x4就是P[x]4的一个基.任意不超过4次的多项式:p(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4P[x]4,都可表示为p(x)=a0p0+a1p1+a2p2+a3p3+a4p4因此,p(x)在这个基1,x,x2,x3,x4下的坐标为p(x)=(a0,a1,a2,a3,a4)T..21)()(44332211010qaqaqaqaqaaxp++++,),,21,,()(432110Taaaaaaxp注意:线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是唯一的,在不同的基下所对应的坐标一般不同.若取另一个基:q0=1,q1=1+x,q2=2x2,q3=x3,q4=x4,则因此,p(x)在这个基下的坐标为例6:所有二阶实矩阵组成的集合R22,对于矩阵的加法和数量乘法,构成实数域R上的一个线性空间.对于R22中的矩阵,1000,0100,0010,000122211211EEEE,4321kkkkk1E11+k2E12+k3E21+k4E22=因此,有,0000k1E11+k2E12+k3E21+k4E22=O设而k1=k2=k3=k4=0.,2222211211RaaaaA即,E11,E12,E21,E22线性无关.对任意实二阶矩阵有A=a11E11+a12E12+a21E21+a22E22.所以,E11,E12,E21,E22为V的一个基.而A在基E11,E12,E21,E22下的坐标为:A=(a11,a12,a21,a22)T.线性空间的同构设1,2,···,n是n维线性空间Vn的一组基,在这组基下,Vn中的每个向量都有唯一确定的坐标.而向量在这组基下的坐标,可以看作Rn中的元素,因此向量与它的坐标之间的对应关系,就是Vn到Rn的一个映射.由于Rn中的每个元素都有Vn中的向量与之对应,同时Vn中不同向量的坐标不同,因而对应Rn中的不同元素.我们称这样的映射是Vn与Rn的一个一一对应的映射,这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.设=a11+a22+···+ann=b11+b22+···+bnn即,向量,Vn在基1,2,···,n下的坐标分别为:=(a1,a2,···,an)T,=(b1,b2,···,bn)T,则+=(a1+b1)1+(a1+b1)2+···+(a1+b1)nk=ka11+ka22+···+kann于是+与k的坐标分别为:(a1+b1,a2+b2,···,an+bn)=(a1,a2,···,an)T+(b1,b2,···,bn)T,(ka1,ka2,···,kan)T=k(a1,a2,···,an)T.说明在向量用坐标表示后,它们的运算就归结为坐标的运算,因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间Rn的讨论.定义:设U,V是两个线性空间,如果它们的元素之间有一一对应关系,且这个对应关系保持线性组合的对应,那么就称线性空间U与V同构.同构的意义:在对抽象线性空间的讨论中,无论构成线性空间的元素是什么,其中的运算是如何定义的,我们所关心的只是这些运算的代数(线性运算)性质.从这个意义上可以说,同构的线性空间是可以不加区别的,而有限维线性空间唯一本质的特征就是它的维数.三、基变换与坐标变换基变换公式与过渡矩阵问题:在n维线性空间V中,任意n个线性无关的向量都可以作为V的一组基.对于不同的基,同一个向量的坐标是不同的.那么,同一个向量在不同的基下的坐标有什么关系?换句话说,随着基的改变,向量的坐标如何改变?+++++++++nnnnnnnnnnppppppppp22112222112212211111设1,2,···,n及1,2,···,n是n维线性空间Vn的两个基,且有(1)称公式(1)为基变换公式.由于公式(1)等价于,2121222121211121nnnnnnnnppppppppp,2121nTnP即基变换公式或在基变换公式中,矩阵P称为由基1,2,···,n到基1,2,···,n的过渡矩阵,过渡矩阵P是可逆的.坐标变换公式定理设n维线性空间Vn中的元素,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,在基1,2,···,n下的坐标为:(x1,x2,···,xn)T,若两个基满足关系式:(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P.(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P则有坐标变换公式:,2121nnxxxPxxx.21121nnxxxPxxx或证明:因为()nnxxx2121,,,()nnxxx2121,,,()().,,,,,,21212121nnnnxxxPxxx及(1,2,···,n)=(1,2,···,n)P,所以10,0121,2121+12121xx例7:坐标变换的几何意义.设.211,1121及为线性空间V=R2的两个基.则在基1,2下的坐标为:又设12112121111121yy由坐标变换公式可知,.2121即在基1,2下的坐标为:xyo12121212121