4-4二次型与二次型的化简4-5惯性定律与正定二次型

《线性代数》下页结束返回一、二次型及其标准形的概念下页第4节二次型与二次型的化简四、正交变换五、利用正交变换化二次型为标准形二、二次型标准形的概念三、矩阵的合同与合同变换《线性代数》下页结束返回在高中，大家已经知道通过适当选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面九种标准方程的一种形式：)(1]1[2222椭圆byax二次型的系统研究是从18世纪开始的起源于对二次曲线/面的分类问题的讨论)(1]2[2222虚椭圆byax)(1]3[2222双曲线byax)(0]4[2222虚直线点或相交于实点的共轭byax)(0]5[2222两相交直线byax)(2]6[2抛物线pxy下页《线性代数》下页结束返回)(]7[22两平行直线ay)(]8[22两平行共轭虚直线ay)(0]9[2两重合直线yoyxo/y/x/θ例如：绘制方程下页22240xxyyxy,2.xxyy1(),21(),2xxyyxy22134022xy的草图。《线性代数》下页结束返回（2）圆锥面222zyx（3）旋转双曲面1222222czayax（1）球面1222zyx在三维空间中：下页《线性代数》下页结束返回zqypx2222（与同号）pq椭圆抛物面双叶双曲面1222222czbyax下页《线性代数》下页结束返回zqypx2222（与同号）pq双曲抛物面（马鞍面）1222222czbyax单叶双曲面下页《线性代数》下页结束返回问题方程5x2+5y2+3z2–2xy+6xz–6yz=36在三维空间中表示何种二次曲面呢？为解决这些类似问题，引出了二次型的概念和二次型化标准型的方法。二次型的应用极为广泛，如工程机械、工程测量等等。下页《线性代数》下页结束返回定义1含有n个变量的二次齐次多项式叫做n元二次型，当二次型的系数aij(i,j=1,2,…,n)都是实数时,称为实二次型.212111121213131122222323222(,,,)22222nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxax特别地,只含有平方项的n元二次型称为n元二次型的标准形.222121122(,,,).nnnfxxxdxdxdx下页4.1二次型(quadraticform)的定义二次型的定义《线性代数》下页结束返回二次型的矩阵形式令下页),...,2,1.(njiaajiij得212111121213131122222323222(,,,)22222(1)nnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxaxxaxxax2121111212131311221212222323222112233(,,,)(2)nnnnnnnnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxxax《线性代数》下页结束返回下页2121111212131311221212222323222112233(,,,)nnnnnnnnnnnnnnfxxxaxaxxaxxaxxaxxaxaxxaxxaxxaxxaxxax121111122133122112222332112233(,,,)()()()nnnnnnnnnnnnfxxxxaxaxaxaxxaxaxaxaxxaxaxaxax111122133121122223321212112233(,,,)nnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxfxxxxxxaxaxaxax《线性代数》下页结束返回下页111122133121122223321212112233(,,,)nnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxfxxxxxxaxaxaxax111211212222121212(,,,)nnnnnnnnnaaaxaaaxfxxxxxxxaaa12(,,,)TnfxxxXXA，其中nnnnnnaaaaaaaaaA21222211121112,.nxxXx《线性代数》下页结束返回f(x1,x2)=3x12+3x22+2x1x2112231,13xxxx=此时A称为二次型f的系数矩阵,f称为对称矩阵A对应的二次型.矩阵A的秩称为二次型f的秩.下页12(,,)(3),TnfxxxXAX为一对称矩阵,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaA12,.nxxXx其中《线性代数》下页结束返回二次型与它的矩阵是一一对应的：(1)二次型f=3x12+3x22+2x1x2+4x1x34x2x3f的矩阵A=31213-22-20,则二次型f=x12+x22+x322x1x3(2)f的矩阵A=101010101,下页《线性代数》下页结束返回(y1,y2,…,yn)d10…00d2…0…………00…dny1y2…yn11111221221122221122nnnnnnnnnnxcycycyxcycycyxcycycy，，令（4）定义2221122若将(4)代入(1），使，nnfdydydy二.二次型的标准型这种只含平方项的二次型称为二次型的标准型X=PY下页《线性代数》下页结束返回f(X)=XTAX=(PY)TA(PY)=YT(PTAP)Y=YTΛY=g(Y)对n阶实对称矩阵A,寻求可逆矩阵P,使得寻求可逆的线性变换X=PY,使得实二次型化成标准型PTAP=Λ=d10…00d2…0…………00…dn下页《线性代数》下页结束返回三、合同变换及其性质合同关系是矩阵间的一种等价关系，满足：自反性：对称性：传递性：另外，合同矩阵又满足如下性质：（1）（2）对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵；（3）对称矩阵必与一对角形矩阵合同；下页定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得PTAPB成立,则称矩阵A与B合同,记为AB.称P为合同变换矩阵.AA；,ABBA若则；,,ABBCAC若则；,()();ABrArB则《线性代数》下页结束返回性质2对称矩阵经合同变换仍化为对称矩阵.证明：由ATA,PTAPB，有BT=(PTAP)TPTATPPTAPB,即证。性质3对称矩阵必与一对角形矩阵合同.分析：由PTAPB，且P可逆121......1,2,...,ssiPFFFFFis令，期中为初等矩阵，121121............TTssssPAPFFFFAFFFF则121121............TTTTssssFFFFAFFFF111221..................TTTTssssFFFFFAFFF下页《线性代数》下页结束返回性质3对称矩阵必与一对角形矩阵合同.下页120TrddPAPd12,,0.rddd其中r是矩阵A的秩。当r0时，《线性代数》下页结束返回三、合同变换及其性质下页定义2设A，B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P，使得PTAPB成立,则称矩阵A与B合同,记为AB.称P为合同变换矩阵.合同变换化二次型为标准型AEP行初等变换列初等变换对应相同构造一个2n×n矩阵，对矩阵作一系列初等行变换及对应相同的初等列变换，当上部A变成单位矩阵Λ时，下部单位矩阵E则变成合同变换矩阵P.即AEAE《线性代数》下页结束返回下页合同变换化二次型为标准型AEP行初等变换列初等变换对应相同构造一个2n×n矩阵，对矩阵作一系列初等行变换及对应相同的初等列变换，当上部A变成单位矩阵Λ时，下部单位矩阵E则变成合同变换矩阵P.即AEAE1112221212........................=......sTTTTssTssPFFFFFAFFEPAFFFPAPEFFFFFPP分令析《线性代数》下页结束返回例1用合同变换把将二次型f(x1,x2,x3)=x12+x22+x322x1x3化为标准形.解f的矩阵A=101010101,101010101100010001AE3131101100010010000000100101010010001001rrccP下页X=PY2212312(,,)fxxxyy所以标准型为：《线性代数》下页结束返回下页解f的矩阵A=111123135,111123135100010001AE2121101012125110010001rrcc3131100012024111010001rrcc《线性代数》下页结束返回下页解f的矩阵A=111123135,AE3131100012024111010001rrcc323222100010000=111012001rrccPX=PY2212312(,,)fxxxyy所以标准型为：《线性代数》下页结束返回四、正交变换的概念与性质定义3设P为n阶正交矩阵,X,Y是都是n维向量,称线性变换性质1正交变换是可逆线性变换；性质2正交变换不改变向量的内积（模）.——等距同构下页X＝PY为正交变换.正交变换的概念正交变换的性质证明：因为当(,)(,)UVPXPY()()TPXPYTTXPPY()TTXPPYTXY(,).XY,UPXVPY《线性代数》下页结束返回实对称矩阵的性质下页定理3设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P使1TPAPPAP12(,,,),ndiag其中为A的n个特征值，12,,,n正交矩阵P的n个列向量是矩阵A对应于这n个特征值的标准正交的特征向量.1,TAQQAQ：由对称矩阵必可合同于一对角阵,即可逆使得分析121212(,,,),,,,,,,nnnQP令利用施密特正交化方法将正交化再单位化，得标准正交向量组，构造正交矩阵12(,,,)=nRPQR即可逆上三角阵使得11()()TTQAQPRAPR从而11111()()()()TTTTRPAPRRPAPR112(,,,).TTnPAPRRdiag故《线性代数》下页结束返回下页实对称矩阵的性质定理1实对称矩阵的特征值是实数；实对称矩阵A的ri重特征值i对应ri个线性无关的特征向量.实对称矩阵必可对角化(1)()(2)()()iiiiiiirArEAnrEAXOnrEA.r若为实对称矩阵的重特征根；齐次方程组，基础解系中恰好含个特即征向量则112(,,,).TnPAPPAPdiag分析111)iiPEAPPEPPAP故（1212(,,,)(,,,).iiiinnEdiagdiag