2016届高考数学(文)一轮复习专题课件：第3章+第3讲+两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第3讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式第三章三角函数、解三角形1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝________________________________；cos(α∓β)＝_______________________________；tan(α±β)＝_____________________________．(α±β，α,β均不为kπ＋π2，k∈Z)sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ±sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝___________________；cos2α＝_________________＝___________________＝____________________；tan2α＝2tanα1－tan2α.(α，2α均不为kπ＋π2，k∈Z)2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α3．三角公式关系[做一做]1．若sinα2＝33，则cosα＝()A．－23B．－13C.13D.23C解析：因为sinα2＝33，所以cosα＝1－2sin2α2＝1－2×332＝13.2．若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，tanβ＝13，则tan(α＋β)等于()A．－34B.34C．－43D.43C1．辨明两个易误点(1)在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错．(2)在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝22所对应的角α＋β不是唯一的．2．熟悉公式的逆用及变形用(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；(2)cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2；(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝2sinα±π4.3．角的变换技巧α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.[做一做]3．sin68°sin67°－sin23°cos68°的值为()A．－22B.22C.32D．1B4．已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为()A.2941B.129C.141D．1D考点一三角函数公式的直接应用考点二三角函数公式的活用(高频考点)考点三角的变换考点一三角函数公式的直接应用(2014·高考广东卷)已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.(1)求A的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.[解](1)∵f5π12＝Asin5π12＋π4＝Asin2π3＝Asinπ3＝32A＝32，∴A＝3.(2)由(1)知f(x)＝3sinx＋π4，故f(θ)＋f(－θ)＝3sinθ＋π4＋3sin－θ＋π4＝32，∴322（sinθ＋cosθ）＋22（cosθ－sinθ）＝32，∴6cosθ＝32，∴cosθ＝64.又θ∈0，π2，∴sinθ＝1－cos2θ＝104，∴f3π4－θ＝3sin(π－θ)＝3sinθ＝304.[规律方法]两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．1.已知α∈(0，π2)，tanα＝12，求tan2α和sin(2α＋π3)的值．解：tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－（12）2＝43.∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan2α＝43＞0，∴2α∈(0，π2)，∴sin2α＝45，cos2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin2α·cosπ3＋cos2α·sinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.考点二三角函数公式的活用(高频考点)三角函数公式的活用是高考的热点，高考多以选择题或填空题的形式出现，在解答题中考查三角函数的性质和解三角形时也应用三角公式．高考对三角公式的考查主要有以下三个命题角度：(1)应用正切公式的变形；(2)降幂公式的应用；(3)二倍角公式的逆用．求值：(1)3tan12°－3sin12°（4cos212°－2）；(2)tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°.[解](1)原式＝3×sin12°cos12°－3sin12°（4cos212°－2）＝3sin12°－3cos12°2sin12°cos12°（2cos212°－1）＝2312sin12°－32cos12°sin24°cos24°＝23sin（12°－60°）12sin48°＝－43.(2)∵tan60°＝3＝tan(20°＋40°)＝tan20°＋tan40°1－tan20°tan40°，∴tan20°＋tan40°＝tan(20°＋40°)(1－tan20°tan40°)＝3(1－tan20°tan40°)．∴tan20°＋tan40°＋3tan20°tan40°＝3(1－tan20°tan40°)＋3tan20°tan40°＝3.[规律方法]运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．2.(1)(2015·洛阳市高三年级统考)已知sin2α＝13，则cos2α－π4＝()A．－13B．－23C.13D.23(2)若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值是________．D2(3)cosπ9·cos2π9·cos－23π9＝()A．－18B．－116C.116D.18A解析：(1)∵cos2α－π4＝1＋cos（2α－π2）2＝1＋sin2α2，∴cos2α－π4＝23.(2)－1＝tan3π4＝tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ，∴tanαtanβ－1＝tanα＋tanβ.∴1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2，即(1－tanα)(1－tanβ)＝2.(3)cosπ9·cos2π9·cos－23π9＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°·cos20°·cos40°·cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.考点三角的变换(1)设tan(α＋β)＝25，tanβ－π4＝14，则tanα＋π4＝()A.1318B.1322C.322D.16C(2)(2015·贵州六盘水二模)已知cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈0，π2，则cos(α－β)的值等于()A．－12B.12C．－13D.2327[解析](1)tanα＋π4＝tan（α＋β）－β－π4＝tan（α＋β）－tanβ－π41＋tan（α＋β）tanβ－π4＝322.D(2)∵α∈0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝13，∴cos2α＝2cos2α－1＝－79，∴sin2α＝1－cos22α＝429，而α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2（α＋β）＝223，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－79×－13＋429×223＝2327.本例(2)条件不变，求cos2β的值．解：∵cosα＝13，cos(α＋β)＝－13，且α，β∈0，π2，∴sinα＝223，sin(α＋β)＝223，cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－13×13＋223×223＝79.∴cos2β＝2cos2β－1＝2×792－1＝1781.[规律方法](1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．3.已知α∈π2，π，且sinα2＋cosα2＝62.(1)求cosα的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈π2，π，求cosβ的值．解：(1)因为sinα2＋cosα2＝62，两边同时平方，得sinα＝12.又π2＜α＜π，所以cosα＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π.所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45.cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝－32×45＋12×－35＝－43＋310.考题溯源——二倍角公式的应用(2013·高考四川卷)设sin2α＝－sinα，α∈π2，π，则tan2α的值是________．[解析]∵sin2α＝－sinα，∴2sinαcosα＝－sinα.∵α∈π2，π，sinα≠0，∴cosα＝－12.又∵α∈π2，π，∴α＝23π，∴tan2α＝tan43π＝tanπ＋π3＝tanπ3＝3.3[考题溯源]本考题源于教材人教A版必修4P135练习T3“已知sin2α＝－sinα，α∈π2，π，求tanα的值．”的变式而成．1.(2015·东北三校联考)已知sinα＋cosα＝13，则sin2π4－α＝()A.118B．1718C.89D.29B解析：.∵sinα＋cosα＝13，∴(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝19，∴sin2α＝－89，∴sin2π4－α＝1－cosπ2－2α2＝1－sin2α2＝1718.故选B.2．(2015·唐山市第一次模拟)若sinπ6－α＝13，则cos2π3＋2α＝()A．－79B.79C．－29D.29A解析：.∵sinπ6－α＝13，∴sinπ2－π3＋α＝13，∴cosπ3＋α＝13，∴cos2π3＋2α＝2cos2π3＋α－1＝2×19－1＝－79.本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放