三角恒等变换各种题型归纳分析

三角恒等变换一、知识点：（一）公式回顾：二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的两倍，α/2是α/4的两倍，3α是3α/2的两倍，α/3是α/6的两倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。因此，要理解“二倍角”的含义，即当α=2β时，α就是β的二倍角。凡是符合二倍角关系的就可以应用二倍角公式。（二）公式的变式合一公式：二典例剖析：基础题型）（简记：C.sinsincoscoscos）（简记：S.sincoscossinsinT简记：,tantantantan)tan(1222222242122222TkkCS简记）且简记，简记,(tantantan,sincoscoscossinsin222221122sincossincoscos2)cos(sin2sin122sin22cos1cos22cos122cos1sin22cos1cos222cos12sin2cos12coscos1cos12cos2sin2tan.2所在的象限，注意讨论号，取决于公式前的sincos1cos1sincos1cos12tanabxbaxbabxbaabaxbxatan)sin(cossincossin22222222其中题型一：公式的简单运用例1:题型二：公式的逆向运用例2:题型三：升降幂功能与平方功能的应用例3.提高题型：题型一：合一变换例1方法：角不同的时候，能合一变换吗？.cossin,,cossin.cossincossin)(;cossincossin)(.cos)(;cos)(;sin)(;sin)(.xxxxx2203132212212221221121420131240111和求已知化简：化简下列各式：).2tan(,21)tan(,,2,53sin][).22tan(,2tan,54cos][.tan,cos,sin,,22,13122cos][.4tan,4cos,4sin,24,1352sin][yxyxxBABAABC求已知提高练习求中，在△课本例题求已知同型练习求已知课本例题72cos36cos)2(;125cos12cos)1(.34cos4sin)3(;23tan23tan1)2(;2cos2sin)1(.275sin21)3(;15tan115tan2)2(;5.22cos5.22sin)1(.124422求值：化简下列各式：求下列各式的值：.)70sin(5)10sin(3.3.2cos)31(2sin)31(,.212cos312sin.1的最大值求大值有最大值？并求这个最取何值时当锐角xxy方法：1.转化为与圆有关的最值2.合一变换+有界性3.万能公式换元为二次分式题型2：角的变换（1）把要求的角用已知角表示例2方法：1、想想常见的角的变换有哪些？2、求值时注意讨论研究角的范围。证明的方法也是角的变换：把要求证的角转化为已知的角.（2）互余与互补题型3：非特殊角求值例3:.cos22sin23.6.)(1)3(,cossin)(.5.)55cos(2)10sin(2.4的值域求函数的取值范围时，求的最小值为且当的值时的及取得最大值和最小值的最大值和最小值，以求函数xxykkxffxbxaxfxxxy.2cos,20,2,322sin,912cos][.2cos,1312)cos(,53)sin(,432.2.cos,31)tan(,54cos,,][.cos,2921)cos(,178sin,.1求且已知类似题的值求已知的值求为锐角类似题的值求为锐角，已知.2tan5)22tan(2),sin(3sin7][).tan(3tan,sin2)2sin(.4).sin(,13543sin534cos4,043,4][).sin(,43,4,4,0,131245sin,534cos.3求证：已知类似题求证：已知求，，，已知类似题求且xxxxxxxxmxtan1sin22sin47127,534cos4.2sin,534sin.33cot316tan3.2.______42sin,cos.12，求且已知求已知化简：则已知xxx2,4,4方法：善于发现补角和余角解题，关注三者关系50cos350sin1][;10cos310sin1.2sin8sin15cos7sin8cos15sin7][;20cos20sin10cos2.1类似题类似题8cos12sin][;12tan18tan.322类似题方发：(1)减少非特殊角的数量；(2)注意“倍”、“半”。题型4：式的变换1、tan(α±β)公式的变用例4:2、齐次式80sin2)10tan31(10sin50sin2.820cos110cos380cos175tan5cot10sin20sin220cos1650sin10cos)310tan570sin2170sin214222.)(..(.)4(tantan1tan1)4(tantan1tan1)tantan1)((tantantan)6tan()6tan(3)6tan()6tan(][42tan18tan342tan18tan.2114tan111tan114tan111tan][;6tan12tan6tan12tan.1xxxx类似题类似题化简：)24tan()42tan(.6)12tan()18tan(3)12tan()18tan(.5)45tan1)(44tan1()2tan1)(1tan1.(420tan10tan10tan60tan60tan20tan3.xxxxxx为什么？则可推广：由,2)tan1)(tan1(,45.)(cos3)sin()cos()(sin)2()tan()1(:.0156tan,tan.212cos12sin12cos12sin.1222的值的值；求的两个实数根是方程已知xx3、“1”的运用（1±sinα,1±cosα凑完全平方）4、两式相加减，平方相加减5、一串特殊的连锁反应（角成等差，连乘）题型5：函数名的变换例5:23,2要点：(1)切化弦；(2)正余互化.2cos2sin,0,31cossin.32cos2sin12cos2sin1)2(;2cos2sin12cos2sin1)1(.2cos1)2(;sin1)1(.1xxxxx和求已知化简：化简下列各式：.tantan,31)sin(,21)sin(][.tantan,53)cos(,51)cos(.2).cos(,0coscoscos,0sinsinsin]2[).sin(,31cossin,21sincos]1[).cos(,54coscos,53sinsin.1的值求已知类似题的值求已知求已知类似题求已知类似题求已知.ABC3,2,45,ABC][.AB,3AB)2(Btan2Atan)1(,51)BAsin(,53)BAsin(,ABC)2004.(3的面积的两部分，求分成边上的高把中类似题边上的高求若求证：中锐角全国DCBDBCBCBACnxxx2cos4cos2cos][115cos114cos113cos112cos11cos.378sin66sin42sin6sin][70sin50sin30sin10sin.272cos36cos.1类似题类似题求值：).cos()2();cos()1(,35)sin(,713tantan,.4).tan2tan1(2sin.3)4(sin)4tan(21cos2.2)(cos,)14sin()(sin,,)2(17sin)(sin,17cos)(cos)1.(122求且满足若锐角化简化简求且求证：若xfxnxfZnRxxxfxxf题型6：给值求角要点：先确定角的范围（尽可能缩小），再选择恰当的函数例6:题型7：化简与证明方法：上述7类常见方法思路：变同角，变同名，变同次例7:题型8：综合应用例8:.,81tan,51tan,21tan,,,.2.,1010sin,55sin,,][.,1010sin,552cos,,.1求为锐角的值求且为钝角已知类似题的值求为锐角.2,,02sin22sin3,1sin2sin3.4.,2tan12tan4),2sin(sin3,40,40][.2),,0(),,0(,71tan,21)tan(.3222为锐角，求已知的值求且已知类似题的值求且已知)24tan(2)24(cos2cos32tan2cotsin1.5.2cos2cos21coscossinsin.4)0(cos22)2cos2)(sincossin1(.3cossin1cossin1cossin1cossin1.22tan522tan2),sin(3sin7.122222＋化简：化简＋＋＋＋化简：求证：已知得到？的图象经过怎样的变换的图象可以由函数函数区间；的最小正周期和单调增求函数若函数福建的集合取得最大值的求使函数的最小正周期；求函数已知函数的值，求为上最大值与最小值之和，在若已知函数的值域求的最小正周期；求设xyxfxfxxxxxfxxfxfRxxxxfaxfaxxxxfxfxfxxxxxf2sin)()2()()1(.cos2cossin3sin)()06.(4.)()2()()1(.,12sin262sin3)(.3.336)(,cossin32cos2)(.2.)()2()()1.(cottan2cos2sin)(.12222总结：一、Sα±β