数列通项公式求法(较全)

1/15常见数列通项公式的求法公式：1、定义法若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a与d或1a与q,再代入公式dnaan11或11nnqaa中即可.例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列nb的345,,bbb,求数列nb的的通项公式.练习：数列na是等差数列,数列nb是等比数列,数列nc中对于任何*nN都有1234127,0,,,,6954nnncabcccc分别求出此三个数列的通项公式.2/152、累加法形如nfaann11a已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式.（1）当fnd为常数时，na为等差数列，则11naand；（2）当fn为n的函数时，用累加法.方法如下：由nfaann1得当2n时，11nnaafn，122nnaafn，322aaf，211aaf，以上1n个等式累加得11+221naafnfnff1naa1+221fnfnff（3）已知1a，nfaann1，其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.①若fn可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；③若fn可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若fn可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和.例2、数列na中已知111,23nnaaan,求na的通项公式.3/15练习1：已知数列na满足11322,.nnnaanaa且求练习2：已知数列na中，111,32nnnaaan,求na的通项公式.练习3：已知数列na满足11211,,2nnaaann求求na的通项公式.3、累乘法形如1nnafna1a已知型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式1,nnafnnNa中的n依次取1,2,3，……，1n,可得到下面1n个式子：23412311,2,3,,1.nnaaaaffffnaaaa利用公式23411231,0,nnnnaaaaaaanNaaaa可得：11231.naaffffn4/15例3、已知数列na满足11,2,31nnnnaaaan求.练习1：数列na中已知1121,nnanaan,求na的通项公式.练习2:设na是首项为1的正项数列，且2211(1)0nnnnnanaaa，求na的通项公式.4、奇偶分析法(1)对于形如1nnaafn型的递推公式求通项公式①当1nnaadd为常数时，则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当fn为n的函数时，由1nnaafn，11nnaafn两式相减，得到+111nnaafnfn，分奇偶项来求通项.例4、数列na满足111,4nnaaa，求na的通项公式.5/15练习：数列na满足116,6nnaaa，求na的通项公式.例5、数列na满足110,2nnaaan，求na的通项公式.练习1:数列na满足111,1nnaaan，求na的通项公式.练习2：数列na满足112,31nnaaan，求na的通项公式.6/15(2)对于形如1nnaafn型的递推公式求通项公式①当1nnaadd为常数时，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论.②当fn为n的函数时，由1nnaafn，11nnaafn两式相除，得到+111nnfnaafn，分奇偶项来求通项.例6、已知数列na满足112,4nnaaa，求na的通项公式.练习：已知数列na满足112,23nnaaa，求na的通项公式.例7、已知数列na满足1113,2nnnaaa，求na的通项公式.7/15练习1:数列na满足112,3nnnaaa，求na的通项公式.练习2：数列na满足111,2nnnaaa，求na的通项公式.5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求na较难,可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列,从而根据等差或者等比数列的定义求出通项.常见的有:(1)1,nnapaqpq为常数1,nnnatpatat构造为等比数列.(2)11111,npnnnnnnnaaapatptptpp两边同时除以为常数(3)11111,,,1npnnnnnnnaapapatqtpqtqqq两边同时除以为常数再参考类型(4)1,,nnapaqnrpqr是常数11nnanpan(5)21+nnnapaqa2111t,tnnnnnnatapaaaa构造等比数列例8、已知数列na中，11a，321nnaa，求na.8/15练习：已数列na中，11a且111,____.2nnnaaa则例9、已知数列na中，1113,33nnnaaa,求na的通项公式.练习1：已知数列na中，113,22nnnaaa，则na________．练习2：已知数列na中，112,3433nnnaaa,求na的通项公式.例10、已知数列na满足11162,1,nnnaaa求.na练习1：设数列{na}满足nnnaaa23,111，则na________．9/15练习2：已知数列na中，111511,632nnnaaa，求na.练习3：已知数列nanN的满足：111113,432,,7nnnakaankkR（1）判断数列47nna是否成等比数列；（2）求数列na的通项公式.例11、数列na中已知111,23nnaaan,求na的通项公式.10/15练习1：数列na中已知112,32nnaaan,求na的通项公式.练习2：数列na中已知2112,322nnaaann,求na的通项公式.例12、已知数列na中，12125,2,2+33nnnaaaaan，求求na的通项公式.11/15练习1：已知数列na中，12+2+1211,2,+33nnnaaaaa，求求na的通项公式.练习2：在数列{}na中，11a，235a，2na135na23na，令1nnnbaa。(1)求证:数列{}nb是等比数列，并求nb。(2)求数列{}na的通项公式。6、利用na与nS的关系12/15如果给出条件是na与nS的关系式,可利用111,2nnnanaSSn求解.例13、已知数列na的前n项和为322nnSn，求na的通项公式.练习1：已知数列na的前n项和为2134nSnn，求na的通项公式.练习2：若数列na的前n项和为33,2nnSa求na的通项公式.练习3：已知数列na前n项和2142nnnSa,求na的通项公式.7、倒数法13/15（1）11111=,nnnnnnnnpaqapqaqapapaapa构造是等差数列(2)1111=nnnnnnnpaqattqaqatapapap例14、已知数列na满足1=1a，1232nnnaaa，求na的通项公式.练习：已知数列na中，113,,12nnnaaaa则na________.例15、已知数列na满足1=1a，11234nnnaaa，求na的通项公式.练习：已知数列na中，1122,,31nnnaaaa则na________.8、1110,0lglglg,rnnnnnnnapapaapraapaq两边取对数转化为型14/15例16、已知数列na中，211100,10,nnaaa求na练习：已知数列na中，3112,2,nnaaa求na9、其他例17、已数列na中，11a，11nnnnaaaa，则数列通项na____.例18、在数列na中，1a＝1，n≥2时，na、nS、nS－12成等比数列.（1）求234,,aaa；（2）求数列na的通项公式.例19、已知在等比数列{an}中，11a，且2a是1a和31a的等差中项.（1）求数列{an}的通项公式；15/15（2）若数列nb满足12323nnbbbnbanN，求数列nb的通项公式例20、已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是等比数列{bn}的第二项，第三项，第四项．（1）求数列{an}与{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}对任意正整数n，均有3121123nnnccccabbbb，求cn.