数列通项及求和测试题(含答案)

1/23数列通项及求和一．选择题：2.已知数列{an}满足a1=1,且,且n∈N）,则数列{an}的通项公式为（）A．B．C．an=n+2D．an=（n+2）·3n3.数列的前项和记为，，则数列的通项公式是（）A.B.C.D.4.数列满足，且，则=（）A.10B．11C．12D．136.设各项均不为0的数列满足，若，则()A.B.2C.D.4二．填空题：8.已知数列的前项和为，，且满足，则_________．9.若数列的前n项和，则数列的通项公式10.如果数列满足，则=_______.11.若数列的前项和为，则该数列的通项公式.12.若数列的前项和为，则该数列的通项公式.13.已知数列的前项和为，且，则=.15.在数列中，=____________.16.已知数列的前n项和，则的通项公式17.若数列的前n项和，则。18.已知数列满足，，则的最小值为________.19.已知数列的前n项和为，且，则=___．20.已知数列中，，前n项和为，且，则=_______2/23三．解答题：25.已知等差数列的前n项和（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和。30.等差数列中，(1)求的通项公式(2)设，求的前n项和40.公差不为零的等差数列中，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式44.已知等差数列满足：，，的前n项和为．（1）求及；（2）令bn=()，求数列的前n项和．36.已知数列的前项和为，且；数列满足，．.（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）记，.求数列的前项和．3/2328.已知数列的前项和为，且，（1）求数列的通项公式（Ⅱ）数列的通项公式,求其前项和为。29.已知等比数列的公比且成等差数列.数列的前项和为,且.（Ⅰ）分别求出数列和数列的通项公式；（Ⅱ）设，求其前项和为。32.设数列的前项和为，，且对任意正整数，点在直线上．求数列的通项公式；若，求数列的前项和．33.设数列的前项和为，点在直线上.（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前n项和.4/2334.已知数列的前项和和通项满足,数列中，,.（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求的前项和.38.在数列中，是与的等差中项，设，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）记数列前项的和为，若数列满足，试求数列前项的和.39.设数列为等差数列，且；数列的前n项和为.数列满足为其前项和。（I）求数列，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．27.数列满足：，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.5/2341.已知数列，满足条件：，．(I)求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.45.已知数列中，点在直线上，其中.（1）求证：为等比数列并求出的通项公式；（2）设数列的前且，令的前项和。46.已知各项均为证书的数列前n项和为，首项为，且是和的等差中项。(Ⅰ)求数列的通项公式；（Ⅱ）若，求数列的前n项和。47.已知数列的前项和为，且，数列中，，点在直线上．（1）求数列的通项公式和；(2)设，求数列的前n项和，并求的最小值．6/2348.已知数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{an}的前n项和Sn=nbn．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn．49.数列的前n项和为．（1）求数列的通项公式；（2）等差数列的各项为正，其前项和记为，且，又成等比数列求．50.设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=log4||，求数列{}前n项和Tn．22.已知是数列的前n项和，且（1）求数列的通项公式；（2）求的值。7/2323.若正项数列的前项和为，首项，点（）在曲线上.(1)求数列的通项公式；(2)设，表示数列的前项和，求.26.已知数列的前项和为，且满足,,N.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；31.设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n-1an＝(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.8/23数列通项及求和试卷答案1.A2.B∵an=an-1+()n（n≥2）∴3n•an=3n-1•an-1+1∴3n•an-3n-1•an-1=1∵a1=1，∴31•a1=3∴{3n•an}是以3为首项，1为公差的等差数列∴3n•an=3+（n-1）×1=n+2,∴3.C4.B5.B6.【答案解析】D解析：由知数列是以为公比的等比数列，因为，所以，所以4，故选D.7.278.64解析：∵Sn=an+1+1，∴当n=1时，a1=a2+1，解得a2=2，当n≥2时，Sn﹣1=an+1，an=an+1﹣an，化为an+1=2an，∵，∴数列{an}是从第二项开始的等比数列，首项为2，公比为2，∴=2n﹣1．∴an=．∴a7=26=64．故答案为：64．9.10.11.12.13.415.3116.17.【答案解析】当n2时，=2n-1,当n=1时==2所以18.10.5略19.试题分析：由得时，，两式相减得而，所以20..略9/2321.(Ⅰ)设数列{an}公差为d，由题设得解得∴数列{an}的通项公式为：(n∈N*)．…………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知：…………6分①当为偶数，即时，奇数项和偶数项各项，∴；……9分②当为奇数，即时，为偶数．∴．综上：…………………………12分22.23.(1)因为点在曲线上,所以.…………1分由得.……3分且所以数列是以为首项,1为公差的等差数列……4分所以,即………5分当时，……6分当时，也成立…………7分所以，……………8分10/23(2)因为,所以,……………9分……………12分……14分24.解：（Ⅰ）由Sn=an+1﹣，得，两式作差得：an=an+1﹣an，即2an=an+1（n≥2），∴，又，得a2=1，∴，∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，则，；（Ⅱ）bn=log2（2Sn+1）﹣2=，∴cn•bn+3•bn+4=1+n（n+1）（n+2）•2bn，即，，+（2﹣1+20+…+2n﹣2）===．由4Tn＞2n+1﹣，得，即，n＞2014．∴使4Tn＞2n+1﹣成立的最小正整数n的值为2015．11/2325.26.（1）；（2）；（3）不存在正整数，使，，成等比数列．试题解析：（1）解：∵,,∴.…………………1分∴.…………2分∴.……………3分（2）解法1：由,得.……………………4分∴数列是首项为,公差为的等差数列.∴..……………6分当时,………7分.……8分而适合上式，∴.……………9分12/23解法2：由,得，∴．①……………4分当时，，②①②得，∴．…………………5分∴．…６分∴数列从第２项开始是以为首项,公差为的等差数列.………７分∴.………………８分而适合上式，∴.……………9分（3）解：由(2)知,.假设存在正整数,使,,成等比数列,则.…………………10分即.…………11分∵为正整数,∴.得或,…12分解得或,与为正整数矛盾.………………13分∴不存在正整数,使,,成等比数列.……………14分考点：1、等差数列的通项公式；2、等比数列的性质.27.(Ⅰ)又,数列是首项为4,公比为2的等比数列.既所以……………………6分13/23（Ⅱ）.由(Ⅰ)知：令赋值累加得,∴……………………12分28.（1）时，……1分时，……3分经检验时成立，……4分综上5分（2）由（1）可知……7分=……9分==所以……12分29.（Ⅰ）解：∵且成等差数列，∴......................1分，，∴......................2分..............3分当时，............4分当时，...................5分当时，满足上式，∴...................6分（Ⅱ）若，对于恒成立，即的最大值14/23当时，即时，当时，即，时，当时，即，时，∴的最大值为，即∴的最小值为30.31.(1)∵a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①∴a1＝，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝(n≥2)，②①－②得3n－1an＝－＝(n≥2)，化简得an＝(n≥2)．显然a1＝也满足上式，故an＝(n∈N*)．(2)由①得bn＝n·3n.于是Sn＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n，③3Sn＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n＋1，④③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，即32.点在直线上……………1分当时，……………2分两式相减得：即……3分又当时，…4分15/23是首项，公比的等比数列……………5分的通项公式为……………6分由知，……………7分……………8分……………9分两式相减得：……………11分……………13分数列的前项和为……………14分33.16/2334.（1）由，得当时，即（由题意可知）是公比为的等比数列，而，由，得（2），设，则由错位相减，化简得：（12分）35.（Ⅰ）当时，则，17/2336.（Ⅰ）∵当时，得，（）．∵当时，，且．∴数列是以为首项，公比为的等比数列，∴数列的通项公式为．…………………………………4分又由题意知，，，即∴数列是首项为，公差为的等差数列，∴数列的通项公式为．………………………2分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，……………………………………………………1分∴④由④得………………1分∴………………………………………1分∴即∴∴数列的前项和………………………………3分37.（1）由条件，；……………….6分18/23（2），∵．…………12分38.（1）（2）数列是以公比为2的等比数列又是与的等差中项，即(2)由39.解(1)数列为等差数列,所以又因为由n=1时，时，所以为公比的等比数列（2）由（1）知，+==1-4+40:(Ⅰ)．……6分19/23(Ⅱ)．……12分41.解：（Ⅰ）∵∴，∵，…………2分∴数列是首项为2，公比为2的等比数列．∴∴…………5分（Ⅱ）∵，…………7分∴．…………9分∵，又，∴N*，即数列是递增数列．∴当时，取得最小值．…………11分要使得对任意N*都成立，结合（Ⅰ）的结果，只需，由此得．∴正整数的最小值是5．…………13分42（1）b1=a2-a1=1，当n≥2时，bn＝an+1−an＝−an＝−(an−an−1)＝−bn−1，所以{bn}是以1为首项，−为公比的等比数列．（2）解由（1）知bn＝an+1−an＝(−)n−1，当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）++（an-an-1）=1+1+（-）+…+(−)n−220/23=1+=1+[1−]=−当n=1时，−＝1＝a1．所以an＝−(n∈N*)．43.(Ⅰ)解:因为,所以当时,,解得,当时,,即,解得,所以,解得;则,数列的公差,所以.(Ⅱ)因为.因为所以44.（1）设等差数列的公差为d，因为，，所以有，解得，所以；==。（2）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即数列的前n项和=.45.(1)见解析；（2）解析：(1)代入直线中，有+1=2,21/23,……………4分(2)两式作差，……………8分；………12分46.解析：（Ⅰ）由题意知，……………………1分当时，；………………2分当时，，两式相减得，整理得：，…5分22/23∴数列是以为首项，2为公比的等比数列.，………………………………6分（Ⅱ）由得，………………………………9分所以，，所以数列是以2为首项，为公差的等差数列，.………………………………12分.47.（1）∵当时，解得当时，得又，所以…………4分∵点在直线上∴即，所以数列是等差数列，又可得………6分（II）∵∴两式相减得即因此：……….11分∵单调递增∴当时最小值为3………………………13分48.解：（1）由已知，.…………2分所以．从而当时,，又也适合上式,所以.……………6分23/