数列高中数学组卷1

第1页（共46页）SM数列高中数学组卷1一．选择题（共1小题）1．已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（2010）=（）A．4012B．4018C．2009D．2010二．填空题（共4小题）2．记集合P={0，2，4，6，8}，Q={m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P}，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是．3．在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）求数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn．4．已知数列{an}满足a1=33，an+1﹣an=2n，则的最小值为．5．已知数列{an}满足a1=1，an+1=，则an=三．解答题（共25小题）6．已知f（x）=（x﹣1）2，g（x）=4（x﹣1）．数列{an}中，对任何正整数n，等式（an+1﹣an）g（an）+f（an）=0都成立，且a1=2，当n≥2时，an≠1；设bn=an﹣1．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Sn为数列{nbn}的前n项和，，求的值．7．设正项等比数列{an}的首项a1=，前n项和为Sn，且210S30﹣（210+1）S20+S10=0．（Ⅰ）求{an}的通项；第2页（共46页）（Ⅱ）求{nSn}的前n项和Tn．8．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其中n∈N*．（1）若a1=b1=2，a3﹣b3=9，a5=b5，试分别求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设A={k|ak=bk，k∈N*}，当数列{bn}的公比q＜﹣1时，求集合A的元素个数的最大值．9．已知数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，数列{bn}是公比为q的（q∈R）的等比数列，若函数f（x）=x2，且a1=f（d﹣1），a5=f（2d﹣1），b1=f（q﹣2），b3=f（q）．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设数列{cn}的前n项和为Sn，对一切n∈N*，都有成立，求Sn．10．已知函数f（x）=x2+2x．（Ⅰ）数列an满足：a1=1，an+1=f'（an），求数列an的通项公式；（Ⅱ）已知数列bn满足b1=t＞0，bn+1=f（bn）（n∈N*），求数列bn的通项公式；（Ⅲ）设的前n项和为Sn，若不等式λ＜Sn对所有的正整数n恒成立，求λ的取值范围．11．设等比数列{an}的前n项和为Sn=2n+1﹣2；数列{bn}满足6n2﹣（t+3bn）n+2bn=0（t∈R，n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）①试确定t的值，使得数列{bn}为等差数列；②在①结论下，若对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，符到一个数列{cn}．设Tn是数列{cn}的前n项和，试求满足Tm=2cm+1的所有正整数m．12．已知函数f（x）=logax（a＞0且a≠1），若数列：2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n+4（n∈N﹡）为等差数列．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）若a=2，bn=an•f（an），求数列{bn}前n项和Sn；（3）在（2）的条件下对任意的n∈N﹡，都有bn＞f﹣1（t），求实数t的取值范第3页（共46页）围．13．已知等差数列{bn}的前n项和为Tn，且T4=4，b5=6．（1）求数列{bn}的通项公式；（2）若正整数n1，n2，…，nt，…满足5＜n1＜n2＜…＜nt，…且b3，b5，，，…，，…成等比数列，求数列{nt}的通项公式（t是正整数）；（3）给出命题：在公比不等于1的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1也成等差数列．试判断此命题的真假，并证明你的结论．14．已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b∈N+，且a1＜b1＜a2＜b2＜a3．（1）求a的值；（2）若对于任意n∈N+，总存在m∈N+，使am+3=bn，求b的值；（3）在（2）中，记{cn}是所有{an}中满足am+3=bn，m∈N+的项从小到大依次组成的数列，又记Sn为{cn}的前n项和，tn和{an}的前n项和，求证：Sn≥Tn（n∈N）．15．已知等差数列{an}的通项公式．设数列{bn}为等比数列，且．（Ⅰ）若b1=a1=2，且等比数列{bn}的公比最小，（ⅰ）写出数列{bn}的前4项；（ⅱ）求数列{kn}的通项公式；（Ⅱ）证明：以b1=a2=5为首项的无穷等比数列{bn}有无数多个．16．数列{an}满足a1=2，an+1=λan+2n（n∈N*），其中λ为常数．（1）是否存在实数λ，使得数列{an}为等差数列或等比数列？若存在，求出其通项公式；若不存在，说明理由；（2）求数列{an}的前n项和Sn．17．已知数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1=1，点P（bn，bn+1）在直线x﹣y+2=0上．第4页（共46页）（1）求a1和a2的值；（2）求数列{an}，{bn}的通项an和bn；（3）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．18．已知数列an、bn中，对任何正整数n都有：a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+an﹣1b2+anb1=2n+1﹣n﹣2．（1）若数列an是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列bn是等比数列；（2）若数列bn是等比数列，数列an是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列an是等差数列，数列bn是等比数列，求证：．19．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1=b1=1，S2=．（Ⅰ）若b2是a1，a3的等差中项，求an与bn的通项公式；（Ⅱ）若an∈N*{}是公比为9的等比数列，求证：+++…＜．20．已知数列{an}满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣2an（n∈N*）．（Ⅰ）证明：数列{an+1﹣an}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若数列{bn}满足，证明{bn}是等差数列．21．已知数列{an}中，a1=3，a2=5，其前n项和Sn满足Sn+Sn﹣2=2Sn﹣1+2n﹣1（n≥3）．令bn=．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若f（x）=2x﹣1，求证：Tn=b1f（1）+b2f（2）+…+bnf（n）＜（n≥1）．22．设数列{an}的首项a1∈（0，1），an=，n=2，3，4…（1）求{an}的通项公式；（2）设，求证bn＜bn+1，其中n为正整数．第5页（共46页）23．已知数列{an}中，a1=1，an+1=c﹣．（Ⅰ）设c=，bn=，求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）求使不等式an＜an+1＜3成立的c的取值范围．24．已知数列{an}满足an＞0且对一切n∈N*，有a13+a23+…+an3=Sn2，a1+a2+…+an=Sn，（Ⅰ）求证：对一切n∈N*有an+12﹣an+1=2Sn．（Ⅱ）求数列{an}通项公式．（Ⅲ）求证：+++…+＜3．25．已知数列an满足（1）求数列an的通项公式an；（2）设，求数列bn的前n项和Sn；（3）设，数列cn的前n项和为Tn．求证：对任意的．26．已知数列{an}中，a1=2，，n=1，2，3，…（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}中，b1=2，，n=1，2，3，…，证明：，n=1，2，3，…27．已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．28．已知数列{an}满足：，anan+1＜0（n≥1），数第6页（共46页）列{bn}满足：bn=an+12﹣an2（n≥1）．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式（Ⅱ）证明：数列{bn}中的任意三项不可能成等差数列．29．已知数列{an}中，a1=1，n∈N*，an＞0，数列{an}的前n项和为Sn，且满足．（1）求数列{an}的通项公式；（2）数列{Sn}中存在若干项，按从小到大的顺序排列组成一个以S1为首项，3为公比的等比数列{bn}，①求数列{bn}的项数k与n的关系式k=k（n）；②记，求证：．30．设数列{an}的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记．（Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）记cn=b2n﹣b2n﹣1（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都有；（Ⅲ）设数列{bn}的前n项和为Rn．已知正实数λ满足：对任意正整数nRn≤λn恒成立，求λ的最小值．第7页（共46页）SM数列高中数学组卷1参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2010•合肥校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）对任意的实数x1，x2满足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+2，数列{an}满足a1=0，且对任意n∈N*，an=f（n），则f（2010）=（）A．4012B．4018C．2009D．2010【分析】分别令n=1，2，3，4，求出a1，a2，a3，a4，总结规律得到{an}是首项为0，公差为2的等差数列，由此能求出f（2010）=a2010的值．【解答】解：a1=0，a2=f（2）=f（1）+f（1）+2=0+0+2=2，a3=f（3）=f（2）+f（1）+2=2+2=4，a4=f（4）=f（3）+f（1）+2=4+2=6，…∴{an}是首项为0，公差为2的等差数列．∴an=2n﹣2．用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，a1=2×1﹣2=0，结论成立．（2）假设n=k时，结论成立，即ak=2k﹣2，则当n=k+1时，ak+1=f（k+1）=f（k）+f（1）+2=2k﹣2+2=2k，结论也成立，由（1）、（2）知，an=2n﹣2．∴a2010=f（2010）=2×2010﹣2=4018．故选B．【点评】本题考查数列的递推公式，解题时要认真审题，仔细解答，注意总结规律．第8页（共46页）二．填空题（共4小题）2．（2013•江苏模拟）记集合P={0，2，4，6，8}，Q={m|m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P}，将集合Q中的所有元素排成一个递增的数列，则此数列的第68项是464．【分析】由题意可得，形如m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P的数的排列有一位数，两位数，三位数，分类讨论每种情况下的项的个数即可判断【解答】解：由题意可得，形如m=100a1+10a2+a3，且a1，a2，a3∈P的数的排列如下一位数有：，0，2，4，6，8，共有5个两位数有：20，22，24，26，28，40，42，44，46，48…88共有20个三位数：①百位为2的有200，202，204，206，208，220，222，224，226，228，240，242，244，246，248，260，262，264，266，268，280，282，284，286，288共25个此数列的第68项是以4为百位的第18个数，根据此排列的规律可知，以0、2、4为十位的各有5个共15个，以6为10位的第三个数位是464故答案为：464【点评】本题以集合的运算为载体，主要考查了数列的项的求解，解题的关键是数列项出现规律的发现3．（2012•海南模拟）在等差数列{an}中，a1=3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求an与bn；（Ⅱ）求数列{cn}满足，求{cn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，利用b2+S