工程制图-3-直线的投影

1、直线的投影空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线，如图所示将直线AB向H面投影，因为线段上的任意两点可以确定线段在空间的位置，所以直线段上两端点A、B的同面投影a、b的连线就是线段在该面上的投影。HABbaCDcdEFe(f)直线的投影特性：空间直线段对于一个投影面的位置有倾斜、平行、垂直三种。三种不同的位置具有不同的投影特性。1．收缩性当直线段AB倾斜于投影面时，如图（a），它在该投影面上的投影长度比空间AB线段缩短了，这种性质称为收缩性。2．真实性当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，这种性质称为真实性。如图（b）。3．积聚性当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，这种性质称为积聚性。如图（c）。1、直线的投影直线对投影面的位置不同，直线可分为三类：一般位置直线投影面平行线投影面垂直线——直线与三个投影面均倾斜。——直线平行于其中的一个投影面，倾斜于另外两个投影面。——直线垂直于某一投影面。1、直线的投影直线所平行的投影面不同，投影面平行线又可分为：水平线直线平行于H面，倾斜于V、W面。正平线直线平行于V面，倾斜于H、W面。侧平线直线平行于W面，倾斜于H、V面。投影面平行线投影面平行线投影面平行线投影面平行线abbabaabab平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜的直线段，称为投影面平行线。以水平线为例：按照定义，它平行于H面，线上所有点与H面的距离都相同，这就决定了它的投影特性是：（1）AB的水平投影=AB，即反映实长；（2）正面投影平行于OX轴，即∥OX轴；（3）侧面投影平行于OYw轴，即∥OYw轴；（4）水平投影与OX轴的夹角，反映该直线对V面的倾角β；水平投影与OY轴的夹角，反映该直线对W面的倾角γ。其它二投影面平行线的分析同上。投影面平行线投影面平行线的投影特性概括为：（1）在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角；（2）另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。投影面平行线的辨认：（1）当直线的投影有两个平行于投影轴时；（2）第三投影与投影轴倾斜时，则该直线一定是投影面的平行线，且一定平行于其投影为倾斜线的那个投影面。垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行的直线段，称为投影面的垂直线。按直线所垂直的投影面不同，投影面垂直线又可分为：铅垂线直线垂直于H面，平行于V、W面。正垂线直线垂直于V面，平行于H、W面。侧垂线直线垂直于W面，平行于H、V面。投影面垂直线投影面垂直线投影面垂直线的投影特性概括为：（1）在所垂直的投影面貌上的投影积聚为一点；（2）在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反应直线段的实长。投影面垂直线如何判断投影面的垂直线？根据投影面垂直线的投影特性来判断即可。投影面垂直线由直线段对一个投影面的投影特性可知，当直线倾斜于投影面时，它在投影面上的投影的长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性，如图。此特性对于在三面投影体系中的倾斜（一般位置）线段同样适用，因而，同理可得在三面投影体系中它的投影特性为：（1）三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长；（2）三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对投影面的倾角。投影面一般位置直线判断：若直线段的投影与三个投影轴都倾斜，可判断该直线为一般位置直线。一般位置直线的投影不能反应其时常及其对投影面的倾角，因此，若求其时常及其对投影面的倾角时有两种方法：一是利用直角三角形法二是利用换面法求一般位置直线的实长及对投影面的倾角在直角三角形中，一条直角边为直线的投影长，另一条直角边为直线的坐标差，则斜边即为该直线的真长；真长与投影长之间的夹角为直线与该投影面的倾角。真长（TL)坐标差△Z、△Y、△XH、V、W投影长α、β、γ直角三角形法如图（a）中，在由直线AB及其对H面的投影线所形成的平面Abba上的直角三角形ABC中可知，其两直角边分别为：AC=ab、BC=ZB－ZA，R而斜边AB即为实长，该直线对H面的倾角∠BAC=α，而B、A点的高度为坐标，可从b’和a’中得到。由此，通过一般的几何作图便可得到如图（c）或（d）所示，求直线段的实长及对投影面倾角了。作图方法：（1）以水平投影ab为一直角边，以正投影的坐标为另一直角边（ZB－ZA），作一直角三角形，该直角三角形可以画在原投影之外，也可以画在原投影之内。（2）三角形的斜边即为实长，斜边（实长）与水平投影的夹角即为α。用同样的方法，即可求出β角和γ角：a’b’=ZB－ZC（ZA）∠αad=YA－YD（YB）∠βae=XA－XE（XB）∠γ利用三角形法求直线段的实长及与投影面的倾角1.点的从属性若点在直线上，点的各个投影一定在直线的同面投影上。2.点的定比特性空间的点分直线成定比，那么点的各投影一定分直线的同面投影成相同的比例。直线上的点a′b′abk′kk″a″b″XZYHYWOK点在直线AB上【例题1】判定下题中，点K是否在直线AB上？XYHYWZa′b′abk′ka″b″k″K点不在直线AB上O【例题2】判断点K是否在直线AB上。aba′b′C′cXO【例题3】试在直线AB上确定一点C，使AC:CB=2:3，求C点的两面投影。【例题4】试在直线AB上其一点C，使AC=25mm，求点C的投影。aba′b′XOΔZAB=ΔZABC在AB上量取AC=25mmcc′BA【例题5】已知直线AB的V投影，且AB=40mm，求AB的H投影。量取△YAB△YABa′b′ab【例题6】已知直线AB的V投影，且β=30°，求AB的H投影。a′b′ab△YAB量取△YABβ【例题7】已知直线AB的V投影，且α=30°，求AB的H投影。a′b′abαΔzAB直线的H投影长以直线的H投影长为半径，作圆弧直线AB真长两直线的相对位置两直线交叉两直线相交两直线平行4、两直线的相对位置4、两直线的相对位置1.平行两直线4、两直线的相对位置投影特性：空间两直线互相平行，其同面投影都互相平行，空间直线之比与直线各同面投影成相同的比例；反之也成立。根据平行直线的投影特性，可判别两直线是否平行或作一直线与另一直线平行。判定方法：（a）一般情况下，只要看它们的两个同面投影是否平行就可以了；（b）特殊情况，当两直线为某一投影面平行线时，则需根据他们在所平行的那个投影面上的是否平行才能判定。1.相交两直线4、两直线的相对位置投影特性：空间两直线相交，交点为两直线的共有点，直线的同面投影必相交；空间两直线交点的投影一定在直线同面投影的交点上。根据相交直线的投影特性，可判别两直线的空间位置。（1）若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的的规律。这是因为交点是两直线的共有点；（2）反之，若两直线的各同面投影都相交，且交点的投影符合点的投影规律，则该两直线必相交；（3）特殊情况：当直线为某一投影面平行线时，它们是否相交需进一步判断之。通常有两种方法：（a）用定比方法判定；（b）用两条直线的第三投影来判定。1.交叉两直线4、两直线的相对位置投影特性：交叉直线无交点，若投影图中其同面投影出现交点，是因为两直线上存在该投影面的重影点，根据重影点的可见性，可判别交叉直线之间的相对位置。既不平行又不相交的空间两直线称为交叉直线，又称为异面直线。由重影点的可见性可以判别空间直线的相对位置。【例题8】判断两直线的相对位置（方法一）Xa′ac′d′dcbb′od″c″a″b″YWYHZ两直线交叉【例题9】判断两直线的相对位置(方法二）cboa′ac′d′db′x1′1=1′d′=1′c′两直线交叉【例题10】作直线KL与AB、CD相交，且平行于EF直线。d′e′f′fec′a′abcd(b′)(k′)l′lk作kˊlˊ∥eˊfˊ作kl∥ef【例题11】已知水平线AB的两面投影及点C的两面投影，求作直线CD，使其与直线AB相交且与H面成30º夹角。Cˊaˊbˊcab△ZCDCD水平投影长CD真长α以CD水平投影长为半径作弧d有两解dˊAHBCacbcOXb′a′c′ba直角投影规律：空间两直线互相垂直，当其中一条直线为投影面的平行线时，则在该直线所平行的投影面内，两直线的投影反映直角关系。5、一边平行于投影面的直角投影两直线交叉垂直OXb′a′bamnnmBHACcbaMNnm【例题12】求点K到直线AB的距离。kk′aba′b′ll′垂线KL的实长△ZKL△ZKL【例题13】已知直角三角形ABC，其一直角边BC在EF线上，长30mm，试完成三角形ABC的投影。e′f′efa′abb′cc′量取bc=30mm【例题14】求两直线AB、CD之间的距离。aaˊbbˊcˊdˊc(d)nˊmˊm两交叉线间距离(n)【例题15】已知正方形ABCD的对角线位于侧平线EF上，试完成该正方形的正面、侧面投影。a′f′e′e″f″a″b″c″d″b′d′c′o″o′=△XAO△XAO半对角线长