【名师一号】2015-2016学年高二人教版数学必修5课件：1-1-3正弦定理、余弦定理的综合应用

第1页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第一章解三角形第2页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5§1.1算法与程序框图第3页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第三课时正弦定理、余弦定理的综合应用课前预习目标课堂互动探究第4页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课前预习目标梳理知识夯实基础第5页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5自学导引1.掌握正弦定理、余弦定理及其变式．2．巩固用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的几何计算问题.第6页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课前热身解三角形问题的几种类型．在三角形的六个元素中，要知道三个(其中至少有一个为边)才能解该三角形．据此可按已知条件分以下几种情况第7页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5第8页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5名师讲解在解三角形时，选择正弦定理还是余弦定理根据解题经验，已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形．特别是求角时，尽量用余弦定理来求，其原因是三角形中角的范围是(0，π)，在此范围内同一个正弦值对应两个角，一个锐角和一个钝角，用正弦定理求出角的正弦值后，还需要分类讨论这两个角是否都满足题意．但是在(0，π)内一个余弦值仅对应一个角，用余弦定理求出的是角的余弦值，可以避免分类讨论．第9页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5课堂互动探究剖析归纳触类旁通第10页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5正、余弦定理的综合应用一【例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosc＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．典例剖析第11页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【分析】(1)利用正弦定理将已知转化为B三角函数，可求B；(2)由△ABC的面积S＝12acsinB知，求S的最大值，只要求ac的最大值，可利用余弦定理及基本不等式可解．第12页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】由已知及正弦定理得sinA＝sinBcosC＋sinCsinB①又A＝π－(B＋C)，故sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC.②由①②得sinCsinB＝cosBsinC.又0Cπ，sinC≠0，得sinB＝cosB.又0Bπ，所B＝π4.第13页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5(2)△ABC的面积S＝12acsinB＝24ac.由已知及余弦定理得△＝a2＋c2－2accosπ4≥2ac－2ac.所以ac≤42－2＝22(2＋1)．当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为2＋1.第14页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5判断三角形的形状二【例2】在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．【分析】已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理或正弦定理的推广形式a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC外接圆半径)，进行边角间的相互转化，也可以用余弦定理转化为边的关系，再进行判断．第15页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】解法1：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形，且A＝90°，∴B＋C＝90°，B＝90°－C，∴sinB＝cosC.由sinA＝2sinB·cosC，可得1＝2sin2B，∴sin2B＝12.∵B为锐角，∴sinB＝22.从而B＝45°，∴C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．第16页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解法2：由sin2A＝sin2B＋sin2C，利用正弦定理，得a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形．又由sinA＝2sinBcosC，得a＝2b·a2＋b2－c22ab，即a2＝a2＋b2－c2.即b2＝c2，∴b＝c，故△ABC是等腰三角形．综上知，△ABC为等腰直角三角形．第17页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧判定三角形形状时，如果条件中给出了边和角的关系式，转化等式时一般有以下两个思路：①先化为角的关系式，再化简求值；②先化为边的关系式，再化简求值.第18页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5综合应用三【例3】如图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．第19页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【分析】本题图形是由两个三角形组成的四边形，在△ABD中，已知两边和一边的对角，用正弦定理可求出另一边的对角，但得不到其与△BCD的联系．可再考虑用余弦定理求出BD，其恰是两个三角形的公共边，这样可在△BCD中应用正弦定理求BC.第20页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【解】在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB，设BD＝x，则142＝x2＋102－2×10xcos60°，即x2－10x－96＝0.∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.在△BCD中，由正弦定理，得BCsin∠CDB＝BDsin∠BCD.∴BC＝BD·sin∠CDBsin∠BCD＝16·sin30°sin135°＝82.第21页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5规律技巧将复杂图形，分解为三角形，通过解三角形解决问题，当三角形中的条件不够用时，要探索与其他三角形的联系，当条件够用时，注意选择正弦定理，还是余弦定理，必要时也可以列出方程(组)求解.第22页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5易错探究对于△ABC，有如下命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC为直角三角形；③若sin2A＋sin2B＋cos2C1，则△ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是________．(把你认为正确的都填上)【错解】①②③第23页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5【错因分析】①、②丢解，造成错解．①sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A＋2B＝π.∴A＝B，或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故①错．②sinA＝cosB，∴A＋B＝π2，或A－B＝π2.∴△ABC为直角三角形或钝角三角形，故②错．第24页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5③sin2A＋sin2B＋cos2C1，∴sin2A＋sin2B1－cos2C.∴sin2A＋sin2Bsin2C.由正弦定理，得a2＋b2c2.∴△ABC是钝角三角形，故③正确．【正解】③第25页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5随堂训练1.△ABC中，a＝2bcosC，则△ABC为()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形第26页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解析由正弦定理，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，代入式子a＝2bcosC，得2RsinA＝2·2RsinB·cosC，∴sin(B＋C)＝2sinBcosC，即sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBcosC.整理得sin(B－C)＝0.因为0°B180°，0°C180°，∴－180°B－C180°，∴B－C＝0°，∴B＝C，故选A.答案A第27页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修52．已知△ABC中，B＝30°，b＝503，c＝150，求a.第28页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解由正弦定理，有csinC＝bsinB，∴sinC＝c·sinBb＝150sin30°503＝32.由于0°C150°，∴C＝60°，或C＝120°.当C＝60°时，A＝180°－B－C＝90°，于是a＝b2＋c2＝5032＋1502＝1003；当C＝120°时，A＝180°－B－C＝30°，于是a＝b＝503，∴a＝503，或1003.第29页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修53．如图所示，四边形ABCD中，已知∠A＝120°，∠ABC＝90°，AD＝3，BC＝33，BD＝7，求：(1)AB的长；(2)CD的长．第30页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解(1)在△ABD中，设AB＝x，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cosA，即72＝x2＋32－2x·3·cos120°，∴x2＋3x－40＝0，(x－5)(x＋8)＝0，∴x1＝5，或x2＝－8(舍)，即AB＝5.第31页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5(2)在△ABD中，由正弦定理，得ADsin∠ABD＝BDsin120°，即3sin∠ABD＝7sin120°，∴sin∠ABD＝3sin120°7＝3314.第32页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BDcos∠CBD＝27＋49－2×33×7cos(90°－∠ABD)＝27＋49－2×33×7×3314＝49，∴CD＝7.第33页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修54．设△ABC的角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且3b2＋3c2－3a2＝42bc.(1)求sinA的值；(2)求2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A的值．第34页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5解(1)由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc，又∵3b2＋3c2－3a2＝42bc，∴cosA＝223，∴sinA＝1－cos2A＝13.(2)由(1)知1－cos2A＝2sin2A＝29，sinB＋C＋π4＝sinπ－A＋π4＝sinA－π4，第35页第一章解三角形返回导航高中同步学习方略·新课标A版·数学·必修5∴2sin(A＋π4)sin(A－π4)＝2·22(sinA＋cosA)·22(sinA－cosA)＝sin2A－cos2A＝19－89＝－79，∴2sinA＋π4sinB＋C＋π41－cos2A＝－7929＝－72.