平面向量总复习

平面向量复习知识网络单位向量及零向量平行向量和共线向量平行与垂直的条件向量向量有关概念向量的运算基本应用向量的定义相等向量及相反向量向量的加法向量的减法实数和向量的积向量的数量积求长度求角度一、向量的概念1、向量：既有，又有的量叫做向量。大小方向二、向量的表示1、代数字母表示：aAB或2、几何有向表示：（有向线段、作图）3、坐标表示：（综合运算）axiyj），（yx），（yxOAxyaiO(x,y)jAaxy（可运算）向量的两要素：大小方向和（与位置无关，没有大小）||||aAB或三、几个特点向量3、相等向量：的向量叫相等向量。长度为10任意的平行2、单位向量：的向量叫单位向量。记作。1、零向量：的向量叫零向量。记作，零向量的方向是，零向量与任意向量。4、相反向量：的向量叫相反向量。5、平行向量：的向量叫平行向量。注意：共线向量也称平行向量长度为零长度相等，方向相反长度相等，方向相同表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上||aa6、请说出以上向量的相互关系？三、向量的运算（一）向量的加法ABC三角形法则：ABCD平行四边形法则：ab2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图（二）向量的减法ABADDB2、坐标运算：），（，），（设2211yxbyxaba则），（2121yyxx1、作图平行四边形法则：abab+ab+ABBCACλ()aRa（1）长度：（2）方向：时，当0aa与异向，时当0aa与同向时，当00aa（三）数乘向量abab（）aaa（）aa、数乘向量的运算律：3：、数乘向量的坐标运算2的大小和方向：、a1axyxy（，）（，）4、平面向量基本定理12121122eeaaee如果，是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使1、平面向量数量积的定义：bacos||||ba2、数量积的几何意义：||||cos.aabab等于的长度与在方向上的投影的乘积OABθB1(四)数量积abba）（1）（）（））（（bababa2cbcacba））（（34、运算律:2121yyxxba3、数量积的坐标运算①e·a=a·e=|a|cosθ②a⊥ba·b=0③a，b同向a·b=|a||b|反向时a·b=-|a|·|b|a2=a·a=|a|2(a·a=)④cosθ=⑤|a·b|≤|a|·|b|||||baba2a平面向量的数量积a·b的性质:四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定(共线向量的判定)）（）（0//1aabba122111222//0baxyxyaxybxy（），其中（，），（，）||32211AByxByxA），则，（），，（）若（||a22xy221221）（）（yyxx2axy（）设（，），则六、向量的长度21||aaa（），2||aa七、向量的夹角cos||||abab向量表示坐标表示向量表示坐标表示222221212121yxyxyyxx特别注意：00cos0为锐角或ba为钝角或0cos0ba由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应排除夹角为0或的情况，也就是要进一步说明两向量不共线。例1e1、e2不共线，a=e1+e2b=3e1－3e2a与b是否共线。典型例题分析:解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。例2设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kbBC=a+bCD=a-2bA、B、D共线则k=_____(k∈R)解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb2=2λλ=-1k=-λk=-1∴k=-1∴例3、已知a=(3,-2)b=(-2,1)c=(7,-4)，用a、b表示c。解：c=ma+nb(7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1)3m-2n=7m=1-2m+n=-4n=-2c=a-2b例4、|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a解：设a=(x,y)则x2+y2=100-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8a=(6,-8)或(-6,8)例5、设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则|3a+b|=____解：法1a=(x1y1)b=(x2,y2)x12+y12=1x22+y22=13a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9x1x2+y1y2=3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12∴(3a+b)=2331法29=9a2+4b2-12a·b∴a·b=又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12∴|3a+b|=2313解：∵22222121211222244aeeeeeeee222112144cos6041411172eeee∴7a同理可得7b22121211227232622abeeeeeeee712cos277abab∴θ=120°（1）k=19（2）,反向31k8.0,,(cos,sin),aabcabc例若向量则与一定满足()以上都不对D.)()(C.0B.A.cbcbcbab8.0,,(cos,sin),aabcabc例若向量则与一定满足()).()(0))((1sincos,12222cbcbcbcbcbcb[解][答案]C9.,,_______.ABCOAOBOBOCOCOAOABC例已知在中则是的心[解]()0,0,,,.OAOBOBOCOBOAOCOBCAOBCAOCABOABCOABC由得：即同理故是的垂心考点归纳1、向量的概念2、实数与向量的积3、平面向量的坐标运算4、线段的定比分点5、平面向量的数量积练习一、选择题：1、如图所示，G为ABC的重心，则GA+GB-GC等于（）A.0B.GEC.4GDD.4GF2、若a=(λ,2)，b=(-3,5)，且a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是()A.λB.λ≥C.λD.λ≤3、已知|a|=18,|b|=1,a·b=-9，则a和b的夹角θ是（）A.120。B.150。C.60。D.30。310310310310ABDCGFEDAA4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,c⊥d,k=（）A.-6B.6C.3D.-35、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)·(a+3b)=33，则a与b的夹角为（）A.30。B.60。C.120。D.150。6.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5,则a·b=()A.10B.-10C.10D.1033232041BCA二、解答题：7、已知e1与e2是夹角为60。的单位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a与b的夹角α。解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。∴e1.e2=|e1||e2|cos60。=∴a·b=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1·e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1·e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。21217721||||baba8、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角；(2)已知|a|=,|b|=，且a与b的夹角为，试求a+2b与a-b的夹角θ的大小。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。32621||||baba（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=333)arccos(cos12)(||3144)2(|2|3131231312|||2|))(2(222222QQbabababababababababababa9、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共线∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)272527252323（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|2=+=BD·DC=+=∴AD2=BD·DC212949232329214929494929