等比数列的性质 2liu

§3等比数列第2课时等比数列的性质1.等比数列的性质：(1)通项公式的推广：an＝am·________(m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是__________，公比为___________．(3)若{an}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则____________．qn－m等比数列qam·an＝ap·aq(4)若等比数列{an}的公比为q，则{1an}是以________为公比的等比数列．(5)一组等比数列{an}中，下标成等差数列的项构成________．(6)若{an}与{bn}均为等比数列，则{anbn}为________．(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为________．1q等比数列等比数列qm(8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是________数列．(9){an}是等比数列，且an0，则{logaan}(a0，a≠1)是________数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为___________或________．(2)若四个数成等比数列，可设___________________；若四个数均为正(负)数，可设______________________．等比等差a，aq，aq2aq，a，aqa，aq，aq2，aq3aq3，aq，aq，aq3课堂典例讲练在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，求a10.[分析]解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q，再求a10.运用等比数列性质解题[解析]解法一：设公比为q，由题意得a1q＝2a1q5＝162，解得a1＝23q＝3，或a1＝－23q＝－3.∴a10＝a1q9＝23×39＝13122或a10＝a1q9＝－23×(－3)9＝13122.解法二：∵a6＝a2q4，∴q4＝a6a2＝1622＝81，∴a10＝a6q4＝162×81＝13122.解法三：在等比数列中，由a26＝a2·a10得a10＝a26a2＝16222＝13122.[方法总结]比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．第一章§3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修51．等比数列{an}中，a1＝1，a9＝9，则a5＝________.[答案]3[解析]由a25＝a1·a9，∴a25＝9，∴a5＝±3.而a1、a9均为正值，故a5也为正值，∴a5＝3.第一章§3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修52．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a12＝______.[答案]567[解析]解法一：可知a4、a6、a8、a10、a12成等比数列．其公比为a6a4＝217＝3，所以a12＝a4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{an}的公比为q，则a6a4＝q2＝3.∴a12＝a4·q8＝7×34＝567.解法三：由a4＝7，a6＝21，得a1q3＝7，a1q5＝21，两式相比得q2＝3.∴a12＝a1·q11＝(a1·q5)·q6＝a6·(q2)3＝21×33＝567.第一章§3第2课时成才之路·高中新课程·学习指导·北师大版·数学·必修53．在等比数列{an}中，a4＋a5＝10，a6＋a7＝20，则a8＋a9等于()A．90B．30C．70D．40[答案]D[解析]∵q2＝a6＋a7a4＋a5＝2，∴a8＋a9＝(a6＋a7)q2＝20q2＝40.4.若1，a1，a2,4成等差数列；1，b1，b2，b3,4成等比数列，则a1－a2b2的值等于()A．－12B.12C．±12D.145.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10·a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.[答案]4.A5.50[解析](1)∵1，a1，a2,4成等差数列，3(a2－a1)＝4－1∴a2－a1＝1.又∵1，b1，b2，b3,4成等比数列，设其公比为q，则b22＝1×4＝4，且b2＝1×q20，∴b2＝2，∴a1－a2b2＝－a2－a1b2＝－12.(2)因为等比数列{an}中，a10·a11＝a9·a12，所以由a10a11＋a9a12＝2e5，可解得a10·a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1·a2·…·a20)＝ln(a10·a11)10＝10ln(a10·a11)＝10·lne5＝50.6．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝________.已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析]求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．对称法设未知项[解析]设四个数为2aq－a、aq、a、aq，则由题意得a2q＝162aq－a·aq＝－128，解得a＝8q＝4或a＝－8q＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.[方法总结](1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a、q表示四个数，也可以据前三个成等差，用a、d表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x，则第二个数为16x，则第一个数为32x－x，最后一个数为x316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x的方程x316·32x－x＝－128，解之得x＝±8，则更简捷．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析]解法一：设四个数依次为a－d，a，a＋d，a＋d2a，由条件得a－d＋a＋d2a＝16，a＋a＋d＝12，解得a＝4d＝4或a＝9.d＝－6.所以，当a＝4，d＝4时，所求四个数为0,4,8,16.当a＝9，d＝－6时，所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2aq－a，aq，a，aq(a≠0)，由条件得2aq－a＋aq＝16，aq＋a＝12，解得q＝2，a＝8或q＝13，a＝3.当q＝2，a＝8时，所求四个数为0,4,8,16.当q＝13，a＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x，y,12－y,16－x，由条件有2y＝x＋12－y，12－y2＝y·16－x，解得x＝0，y＝4或x＝15，y＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.等比数列的性质等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用