等比数列的概念与性质

等比数列（一）智者哲人都告诉我们，为了成功必须付出各种代价，如果不加上耐心，都是枉然。有勇气而无耐心，会使你覆亡；有野心而没耐心，会摧毁你似锦的前程；坚持而无耐心，终究经不起时间长流的激荡。庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”。1111124816，，，，，…如果将“一尺之棰”视为一份，则每日剩下的部分依次为：9，92，93，94，95，96，97堤、木，巢、鸟、雏、毛、色依次构成数列：出门见九堤，每堤有九木，每木有九巢，每巢有九鸟，每鸟有九雏，每雏有九毛，每毛有九色,问共有几堤，几木，几巢，几鸟，几雏，几毛，几色？（《孙子算经》）如果一碗面由256根面条组成,请问需要拉面师傅拉几次才能得到?“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”,...21,......,161,81,41,211,1n某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是15%，这辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:上面数列有什么共同特点?从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。1,2,4,8,16,32,64,128,25610，10×0.85,10×0.852,10×0.853,…1,2,4,8,16,32,64,128,256等比数列的定义一般的，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。(q≠0）)2(1nqaann或)(*1Nnqaann名称等差数列等比数列定义从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数,这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，用q表示.从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数，这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，用d表示对等比数列的认识：（1）即等比数列的每一项都不为0；0na（2）即等比数列的公比不为0；0q（3）为非零常值数列；1q*1Nnqaann9练一练指出下列数列是不是等比数列，若是，说明公比；若不是，说出理由．(3)2,-2,2,-2,2(1)１,2,4,16,64,…(2)16,8,1,2,0,…不是是不一定(4)b,b,b,b,b,b,b,…不是等比数列通项的求法已知等比数列{an}首项为a1，公比为q，则通项an=？a2=a1qa3=a2q=(a1q)q=a1q2a4=a3q=(a1q2)q=a1q3……an=a1qn-1迭代法11nqana,12qaa,23qaa,34qaa…,,1qaann…111342312nnnnqaaaaaaaaaa累乘法2.等比数列的通项公式问题：如何用和表示第项.1aqnna①归纳猜想法113134212312,,,,nnqaaqaqaaqaqaaqaa②叠乘法,12qaa,23qaa,34qaa,21qaannqaann1这个式子相乘得，所以.1n11nnqaa11nnqaa等比数列的通项公式为Nnqaann11②函数观点①方程思想类指数函数式解方程,知三求一xay例1:一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项.把③代入①，得把②的两边分别除以①的两边，得解：设这个等比数列的第1项是，公比是，那么1aq1221qa1831qa①②23q3161a因此82331612qaa答：这个数列的第1项与第2项分别是与.3168作差（等差）作商（等比）,6,475aa例2：等比数列中，求?9ana解：由等比数列的通项公式的特点可得：q=10,a1=-30解：n=1a1=21=2n=2a2=22=4可得：q=2nAn+Ba（等差）nA×Bna（等比）例3：由下列等比数列的通项公式，求首项与公比（1）an=2n(2)an=3×10n思考:你能判断它们的增减性吗?五.小结数列等差数列等比数列定义同一常数通项公式性质an+1-an=dd叫公差an=a1+(n-1)dan=am+(n-m)d你还知道等差数列有什么性质吗?你能类比写出等比数列的性质吗?)0,0(1nnnaqqaaq叫公比an=a1qn-1an=amqn-m等比中项KEY：等比数列的许多概念都可以在等差数列的众多概念中找到相似的对应！如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。2,GbGabaG==即例2将20，50，100三个数分别加上相同的常数，使这三个数依次成等比数列，求它的公比q.解设所加常数为a，依题意20+a，50+a，100+a成等比数列，则去分母，得(50+a)2＝(20+a)(100+a)，即2500+100a+a2＝2000+120a+a2解得a＝25.,501002050aaaa代入计算，得，35252025502050aa所以公比.35q（1）2，18；（2）16，4．求下列各组数的等比中项：小结（一）等比数列（二）当你迷茫的时候，手边的事情就是好事情，不要犹豫，不要觉得可能自己会错过什么，你犹豫的时候，手边的事情就没做好，最后这辈子啥也没得到。等比数列的力量KEY：用函数的眼光来看等比数列的通项公式，原来如此！想想以前我们学过几种函数的增长模型中，哪一种增长速度最快呢？一张纸对折，最多能折几次？无论什么材料的纸，无论纸有多大，也无论纸有多薄，你最多能折几次呢？当然不能裁纸或者借助外力，也不是折了再拆拆了再折的反复动作。赶快动手吧，随便找一张纸试试看。试试看，你会发现一个奇妙的现象。哲学上是无穷次，而你实际能折多少次呢？从物理上分析应该是有限次，要看你纸的大小，材料。假设纸张厚度为0.1mm，对折9次后，纸张的厚度51.2mm，10次是102.4mm，就折不动了。不可能无限的折叠,因为假设纸张厚度为0.1mm，对折9次后，纸张的厚51.2mm，10次是102.4mm，11次是204.8mm,已经不可能从真正意义上说折动了。如果是非常大，非常薄的纸，也不超过9次，折九次时后纸的总厚度是单张的512倍。如果理论上能折50次，总厚度就是原厚度的2的50次方....吓人哪，若原厚度是0.045mm，那么总厚度约是4500公里，信吗？不信，你自己算算。折一次等于原纸厚度的两倍。一张0.01毫米厚的纸，对折30次后比珠穆朗玛峰还高(10737.41824米)。但你只能折七八次，其中的原因你想想就知道了。假设厚度是0.1毫米，那么42次就相当于地球到月亮的距离了，380000千米。如果那“一张纸”是指通常见的A4左右大小的普通书写纸，而“折”是指类似通常手工操作的对折，折九次时后纸的总厚度是单张的512倍，也就是这时的厚度远大于宽度（宽度已经变成原来的512分之1），那由于这“纸”的材料力学的弯曲和弹性等的特性，在不破坏（撕裂）的条件下是无法做到的。所以，看完这个你算长知识了，那就是一张纸最多能折9次！公比q对数列的影响q10q1q=1q0a10递增递减常数列摆动数列a10递减递增常数列摆动数列等比中项KEY：等比数列的许多概念都可以在等差数列的众多概念中找到相似的对应！如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。2,GbGabaG==即有关的几个性质等比数列{an}中：1、若m+n=r+s，则aman=aras，特别当m+n=2r时，aman=ar2。2、从数列中等间距取出的子项构成的新数列仍然成等比数列。（或者说：将等比数列的项按下标成等差的方式取出构成的子数列仍然成等比数列。3、an=amqn-m题型一、下标性质运用KEY：运用下标和性质/通法:化到a1和q。题型二、等比中项中的细节例：求等比数列1,a,b,c,9中，a、b、c的值。解：由于b是1、9的等比中项，故b2=1X9,得b=3或-3。……错啦！原因：G2=ab表明G是a,b的等比中项，还有一个暗示就是ab0，即ab同号！表现在等比数列中的一个特征就是隔项必同号。故本例中b不可能为-3，且a、c也要同号。因而只有两组可能的解。正解：3,3333,333bacbac=====-=-，或，题型三、等比数列的对称设法KEY：本题求解过程中要注意整体思想的运用()()()()()2222261,,210921128428323282aaaqqaaaqqaaaqqaìïï++=ïïïïíï骣ï÷çï?+=ç÷ïç÷ç桫ïïî-=-\解：……设三个数为，则……得，q=-4或-三个数为，-，或，-，总结（二）知识回顾内容等差数列等比数列定义递推关系通项公式前n项和公式性质实际应用函数思想从第二项起,每一项与前一项的差都等于同一个常数.从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数.an-an-1=d(n≥2)an/an-1=q(n≥2)an=a1+(n-1)d或an=ak+(n-k)dan=a1qn-1或an=akqn-k①am+an=ap+al(m+n=p+l)②ak1,ak2,ak3等差(k1,k2,k3等差)③Sk,S2k-Sk,S3k-S2k等差①aman=apal(m+n=p+l)②ak1,ak2,ak3等比(k1,k2,k3等差)③三数等差设为a-d,a,a+d四数等差设为a-3d,a-d,a+d,a+3d三数等比设为a/q,a,aq或a,aq,aq2an是n的一次函数，(n,an)在同一直线上Sn是n的二次函数,可求最大值或最小值例1.在等比数列{an}中，(1)若a1a10=10，求其前10项的积;(2)若an0，a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;(3)若a1a9=256,a4+a6=40,求公比q.5na练习：已知{an}为等比数列，则下列数列仍是等比数列的是.①{2an}；②{nan}；③{|an|}；④{an+an+1+an+2}⑤{lgan}⑥{}.①③④⑥例2、已知{an}、{bn}是项数相同的等比数列，试判断{an·bn}是否为等比数列；思考:2.已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，是等比数列吗？nnab1.{an}是等比数列，C是不为0的常数，数列{can}是等比数列吗？3.已知{an}，{bn}是项数相同的等比数列，是等比数列吗？nnpaqb探究:1.通项为an＝2n－1的数列的图象与函数y＝2x－1的图象有什么关系？2.等比数列的增减性:例4、已知数列{an}满足a1=5，an=2an-1+3(n≥2).⑴求证：{an+3}是等比数列；⑵求an。2112113(1){}(2)?(2){}(2){}nnnnnnnnnaaaanannaaaa例：在等比数列中，是否有在数列中，如果对于任意的正整数，都有，那么数列一定是等比数列吗？35例2：在243和3中间插入个数，使这个数成等比数列13{}32,nnnaaa例：已知等比数列的通项公式为求首项和公比q2.在等比数列中，，则此列前九项之积为_________52a1.等比数列{an}中,a4a8=30,则a2a10=3.各项都是正数的等比数列{an}的公比1q,a2=1，则151645aaaaaa=4.{an}是等比数列，且an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25则a3＋a5=练习：.,160,20)2(;,2,3136361nnaaaaqaa求已知求）已知（中，在等比数列例111(1):22(64,*)2nnxnnnaaqqqannN1n等比数列的图象：是经过指数函数纵向伸缩后a图象上的孤立点，各点(n,a)均在函数y=的图象上。q如：数列且例8、已知无穷数列,10,10,10,1051525150n求证：（1）这个数列成等比数列。（2）这个数列中的任一项是它后面第五项的101（3）这个数列的任意两项的积仍在