等比数列第一课时优质课

2.4等比数列1.等差数列的定义：如果一个数列从第项起，每一项与它前面一项的都等于，那么这个数列叫做等差数列.2.等差数列的通项公式na=.3.等差中项的定义：如果三个数a、G、b成等差数列,那么G叫做a与b的等差中项.则.4.要证明数列{}na是等差数列，只要证明，当2n时，.温故知新如果一碗面由256根面条组成,请问需要拉面师傅拉几次才能得到?我国古代一些学者提出：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”即一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完，这样每天剩下的部分都是前一天的一半。如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是,...21,......,161,81,41,211,1n某种汽车购买时的价格是10万元，每年的折旧率是15%，这辆车各年开始时的价值（单位：万元）分别是：10，10×0.85,10×0.852,10×0.853,…拉面时前9次拉伸成的面条根数构成一个数列:上面数列有什么共同特点?从第二项起,每一项与前一项的比都等于同一个常数。1,2,4,8,16,32,64,128,25610，10×0.85,10×0.852,10×0.853,…1,2,4,8,16,32,64,128,256)2(1nqaann或)(*1Nnqaann其数学表达式等比数列定义一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的等于，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。比同一个常数20na(判断一个数列是否为等比数列的依据)0q1.已知等比数列{an}：(1)an能不能是零？(2)公比q能不能是1？2.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是.①1，-1，1，…，(-1)n+1；②1，2，4，6…；③a，a，a，…，a；④已知a1=2，an=3an+1；⑤⑥2a，2a，2a，…，2a.3.什么样的数列既是等差数列又是等比数列？不能能√√√×××非零的常数列①④⑥思考1：23,2,4,8,...mmmm思考2：若a,G,b三个数成等比数列，那么这三个数有何恒等关系？结论：G2=abG叫做a,b的等比中项求下列两组数的等比中项：(1)4,9;(2)43,43.(1)6(2)13等比中项有两个名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1daa12d2aa13d3aa14……由此归纳等差数列的通项公式可得：法1：不完全归纳法d)1n(aa1n1n1nqaana4a法1：不完全归纳法qaaqaa12123a……由此归纳等差数列的通项公式可得：a1q2a1q3a1qn-1名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(1……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，a1=a1上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：法名称等差数列等比数列通项公式dnaan)1(11n1nqaa……daa,2n12daa23daa34把这n-1个式子相加，得：法2：累加法d)1n(aa1ndaa1nn当n=1时，上式成立*1nNn,d)1n(aa……qaa,2n12法2：累乘法qaa23qaa1nn把这n-1个式子相乘，得：1n1nqaa当n=1时，上式成立*1n1nNn,qaa等比数列的通项公式：（n∈N﹡,q≠0）11nnaaq例1：在等比数列{an}中：1159115(1)2,3,162,;1(2)3,211,,932,8,naqanaqaaqaaa已知求已知，求；已知求；已知求q(3)(4)1,,,11naaqaqannn对于通项公式来说，有四个量，可以知三求一n=5a5=316a1=63q=2例2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求1n1nqaa解：2n1nn12135162221a2q21a2qaa16qaa此题解法是利用数学的函数与方程思想，函数与方程思想是数学几个重要思想方法之一，也是高考必考的思想方法，应熟悉并掌握。名称等差数列等比数列通项公式引申*mnNm,nd)mn(aa*,nmnmaaqnmNd)1m(aa1md)1n(aa1nd)mn(aamnd)mn(aamn可得已知等差数列｛an｝中，公差为d，则an与am（n,m∈N*）有何关系？已知等比数列｛an｝中，公比为q，则an与am（n,m∈N*）有何关系？an=a1qn-1am=a1qm-1mnmnqaa*mnmnNm,nqaa可得*636333323:,1622222nmnmnnnnaaqnmNaaqqqaaq另解例2：在等比数列{an}中：362,16,naaa已知求数列等差数列等比数列定义公差（比）通项公式引申0qqaa,2n1nn1n1nqaamnmnqaadaa,2n1nnd)1n(aa1nd)mn(aamnRd公差0q公比类比小结例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成nna221可见，这个等比数列的图象都在函数的图象上，如右图所示。xy22101234nan87654321····的点函数的图象上一些孤立的图象是其对应的等比数列结论na：思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？-12nna3{}3,{}nnnnaaa例：已知的通项公式求证：是等比数列.{}31{}.:,nnnnana已知数列的前项和为S求证：数列是式等比数列变定义法，只要看1(nnaqqna是一个与无关的非零常数）1111312naS分析：当时，；111111231(31)3333323nnnnnnnnnnnaSS当时，，1112323.nnnnnaa当时，也满足121233(2).23nnnnana为常数当堂达标：1.下面有四个结论：（1）由第一项起乘相同常数得后一项，这样所得到的数列一定为等比数列；（2）常数列b,b,…b一定为等比数列；（3）等比数列{}中，若公比q=1，则此数列各项相等；（4）等比数列中，各项与公比都不能为零。其中正确结论的个数是（）Ａ.0Ｂ.1Ｃ.2Ｄ.32.等比数列{}中,,公比q=3，则通项公式（）Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.3.在等比数列{}中，，则.4.的等比中项为：na232+3与14a143n3n134n4nnana256,48aa8aC384D1数列等差数列等比数列定义公差（比）通项公式引申0qqaa,2n1nn1n1nqaamnmnqaadaa,2n1nnd)1n(aa1nd)mn(aamnRd公差0q公比类比小结猜一猜给你一张足够大的纸，假设其厚度为0.1毫米，那么当你把这张纸对折了51次的时候，所达到的厚度有多少？猜一猜：把一张纸折叠51次，得到的大约是地球与太阳之间的距离！谢谢！