高考复习-集合与简易逻辑2

第2课时命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作命题，其中判断为真的语句叫作，判断为假的语句叫作．基础知识梳理真命题假命题2．四种命题及其关系(1)四种命题若原命题为“若p，则q”，则其逆命题是；否命题是；逆否命题是.基础知识梳理若q，则p若┓p，则┓q若┓q，则┓p“否命题”与“命题的否定”有何不同？【思考·提示】“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，如果原命题是“若p，则q”，那么这个原命题的否定是“若p，则非q”，即只否定结论，而原命题的否命题是“若┓p，则┓q”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．基础知识梳理(2)四种命题间的关系基础知识梳理3．充要条件(1)若p⇒q且q⇒/p，则p是q的条件，q是p的条件；若p⇒q且q⇒p，则p是q的条件，q也是p的条件．(2)若A、B为两个集合，满足A⊆B，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则p是q的条件，q是p的条件；若A＝B，则p是q的条件．基础知识梳理充分不必要必要不充分充分必要充分必要充分不必要必要不充分充分必要1．下列命题是假命题的是()A．若ac2bc2，则abB．5≥3C．若M＝N，则lnM＝lnND．若sinα＝sinβ，则α＝β的逆命题答案：C三基能力强化2．(2009年高考湖南卷改编)对于非零向量a、b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案：A三基能力强化3．(教材习题改编)命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是()A．若a≠b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0B．若a＝b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0C．若a≠0且b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0D．若a≠0或b≠0(a，b∈R)，则a2＋b2≠0答案：D三基能力强化4．a＝1是直线y＝ax＋1与y＝(a－2)x＋3垂直的________条件．答案：充要三基能力强化5．下列命题：①若一个整数的末尾数字为0，则这个整数能被5整除；②奇函数的图象关于原点中心对称；③矩形的对角线相等．其逆否命题为真命题的序号为____．答案：①②③三基能力强化(1)判断命题的真假，可先写出命题，分清条件与结论，直接判断；(2)如果不易判断，可根据互为逆否命题的两个命题是等价命题来判断．课堂互动讲练考点一命题的判定课堂互动讲练例1判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)矩形难道不是平行四边形吗？(2)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(3)一个数不是合数就是质数；(4)大角所对的边大于小角所对的边；(5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数；(6)求证：x∈R，方程x2＋x＋1＝0无实数根．课堂互动讲练【思路点拨】根据命题、真命题、假命题的概念进行判定．【解】(1)通过反意疑问句，对矩形是平行四边形作出判断，是真命题．(2)疑问句，没有对垂直于同一直线的两条直线平行作出判断，不是命题．(3)是命题，是假命题，1不是合数也不是质数．(4)是命题，是假命题，没有考虑到必须在同一个三角形中．(5)是命题，是假命题，若x＝，y＝－.(6)祈使句，不是命题．课堂互动讲练22【名师点评】判断一个语句是否是命题，关键在于能否判断其真假，一般地，陈述句、反意疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题．课堂互动讲练在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”．课堂互动讲练考点二四种命题及其关系课堂互动讲练例2分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．(1)面积相等的两个三角形是全等三角形．(2)若q≤1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根．(3)若x2＋y2＝0，则实数x、y全为零．(4)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数．课堂互动讲练【思路点拨】写成“若p，则q”的形式→写出逆命题、否命题、逆否命题→判断真假．【解】(1)逆命题：全等三角形的面积相等，真命题．否命题：面积不相等的两个三角形不是全等三角形，真命题．逆否命题：两个不全等的三角形的面积不相等，假命题．(2)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1，真命题．否命题：若q1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，真命题．逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q1，真命题．课堂互动讲练(3)逆命题：若实数x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题．否命题：若x2＋y2≠0，则实数x，y不全为零，真命题．逆否命题：若实数x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题．课堂互动讲练(4)逆命题：若x＋y是偶数，则x、y都是奇数，是假命题；否命题：若x、y不都是奇数，则x＋y不是偶数，是假命题；逆否命题：若x＋y不是偶数，则x、y不都是奇数，是真命题．课堂互动讲练【名师点评】(1)“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”，因为“x、y不都是奇数”包含“x是奇数y不是奇数”、“x不是奇数y是奇数”、“x、y都不是奇数”三种情况；(2)“x＝0或y＝0”的否定是“x≠0且y≠0”，而不是“x≠0或y≠0”，因为“x＝0或y＝0”包含“x＝0且y≠0”、“x≠0且y＝0”、“x＝0且y＝0”三种情况．课堂互动讲练判断一个命题是另一个命题的什么条件，关键是利用定义．如果p⇒q，则p叫做q的充分条件，原命题(或逆否命题)成立，命题中的条件是充分的，也可称q是p的必要条件；如果q⇒p，则p叫做q的必要条件，逆命题(或否命题)成立，命题中的课堂互动讲练考点三充分条件与必要条件的判定课堂互动讲练条件为必要的，也可称q是p的充分条件；如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p叫做q的充分必要条件，简称充要条件，原命题和逆命题(或逆否命题和否命题)都成立，命题中的条件是充要的．课堂互动讲练例3指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(1)p：a＋b＝2，q：直线x＋y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0；(3)设l，m均为直线，α为平面，其中l⊄α，m⊂α，p：l∥α，q：l∥m；(4)设α∈(－π2，π2)，β∈(－π2，π2)，p：α＜β，q：tanα＜tanβ.课堂互动讲练【思路点拨】(1)先分清命题的条件与结论；(2)分析由前者能否推出后者，由后者能否推出前者，也可利用反例来推证．【解】(1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝r，所以直线与圆相切，反之，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，故p是q的充分不必要条件．课堂互动讲练|a＋b|2＝2(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立．反之，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，p是q的充分不必要条件．(3)∵l∥αl∥m，但l∥m⇒l∥α，∴p是q的必要不充分条件．课堂互动讲练且α＜β时，tanα＜tanβ，反之也成立．∴p是q的充要条件．课堂互动讲练(4)∵x∈(－π2，π2)时，正切函数y＝tanx是单调递增的，∴当α∈(－π2，π2)，β∈(－π2，π2)，【名师点评】(1)要分清充分性和必要性；(2)注意两种说法“p是q的必要不充分条件”与“q的必要不充分条件是p”是等价的；(3)从集合的角度理解，小范围可以推出大范围，大范围不能推出小范围．课堂互动讲练解：(1)若a＋b＝2，圆心(a，b)到直线x＋y＝0的距离d＝＝r，所以直线与圆相切，若直线与圆相切，则|a＋b|＝2，∴a＋b＝±2，故q是p的必要不充分条件．课堂互动讲练互动探究|a＋b|2＝2例3中其他条件不变，q是p的什么条件？(2)若|x|＝x，则x2＋x＝x2＋|x|≥0成立，若x2＋x≥0，即x(x＋1)≥0，则x≥0或x≤－1.当x≤－1时，|x|＝－x≠x，因此，q是p的必要不充分条件．(3)∵l∥α⇒/l∥m，l∥m⇒l∥α，∴q是p的充分不必要条件．课堂互动讲练课堂互动讲练(4)∵x∈(－π2，π2)，正切函数y＝tanx是单调递增函数，∴α∈(－π2，π2)，β∈(－π2，π2)，且α＜β时，tanα＜tanβ，反之也成立，∴q是p的充要条件．证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．课堂互动讲练考点四充要条件的证明课堂互动讲练例4(解题示范)(本题满分12分)求证方程ax2＋2x＋1＝0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a＝1.【思路点拨】(1)注意讨论a的不同取值情况；(2)利用根的判别式求a的取值范围．课堂互动讲练【证明】充分性：当a＝0时，方程变为2x＋1＝0，其根为x＝－，方程只有一负根.2分当a＝1时，方程为x2＋2x＋1＝0，其根为x＝－1，方程只有一负根.4分当a＜0时，Δ＝4(1－a)＞0，方程有两个不相等的根，且＜0，方程有一正一负根.6分121a必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根．当a＝0时，适合条件．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，则Δ＝4－4a≥0，∴a≤1，8分当a＝1时，方程有一负根x＝－1.课堂互动讲练若方程有且仅有一负根，则，∴a＜0.综上，方程ax2＋2x＋1＝0有且仅有一负根的充要条件为a≤0或a＝1.12分课堂互动讲练a＜11a＜0【思维总结】(1)条件已知证明结论成立是充分性．结论已知推出条件成立是必要性；(2)证明时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论．课堂互动讲练(本题满分10分)求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，方程x2＋mx＋1＝0有实根．设x2＋mx＋1＝0的两个实根为x1、x2，由根与系数的关系知x1x2＝1＞0，所以x1、x2同号．又因为x1＋x2＝－m≤－2，所以x1、x2同为负根.4分课堂互动讲练高考检阅(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0的两个实根x1、x2均为负，且x1x2＝1，所以m－2＝－(x1＋x2)－2＝－(x1＋)－2＝≥0，8分所以m≥2.综合(1)(2)知命题得证.10分课堂互动讲练1x1－x21＋2x1＋1x1＝－(x1＋1)2x11．四种命题间的关系在判断四种命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系，并注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地有了它的“逆命题”“否命题”和“逆否命题”．规律方法总结2．命题中条件与大前提的关系当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；对于由多个并列条件组成的命题，在写其他三种命题时，应把其中一个(或多个)作为大前提．规律方法总结3．集合与充要条件的关系规律方法总结记法A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}关系ABBAA＝BAB且BA图示结论p是q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件p是q的充要条件p是q的既不充分也不必要条件注意：这里的集合A、B分别是使命题p和q为真命题的对象所组成的集合．规律方法总结