概率论与数理统计 第六章第6节

四、正态总体均值与方差的区间估计单个总体的情况两个总体的情况2(,)Nμσ211(,),Nμσ222(,)Nμσ(一)单个总体的情况2(,)Nμσ并设为来自总体的1,,nXX样本,2,XS分别为样本均值和样本方差.均值的置信区间μ1.12σ为已知可得到的置信水平为的置信区间为1α),,(~2NX)1,0(~/NnX),(2/12/1unXunX22σ为未知可得到的置信水平为的置信区间为1α此分布不依赖于任何未知参数由)1(~/ntnSX1)1(|/{|2/1ntnSXP))1(),1((2/12/1ntnSXntnSX例1有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体均值的置信水平0.95的置信区间.μ解这里10.95,20.025,115,ααn1611503.75,16iixx16211()6.2022.15iisxx.1314.2)15(975.0t)2022.6,75.503:(sx别为样本均值和样本方差分于是得到的置信水平为的置信区间为0.95即(500.4,507.1)))1((2/1ntnSX方差的置信区间2σ2.由可得到的置信水平为的置信区间为1α2σ)1(~)1(222nSn1)}1()1()1({22/12222/nSnnP))1()1(,)1()1((22/222/12nSnnSn可得到标准差的置信水平为的置信区间为1ασ))1()1(,)1()1((22/22/1nSnnSn注:如果总体X的数学期望=0已知样本X1,X2,•••,Xn.)1,0(~20NXYii由于212)(~nniiY且选取样本函数212022)(~)(1nniiX1)()(221222nnP根据)()(,)()(22120221120nXnXniinii因此置信度为1-的2置信区间可为例2有一大批糖果.现从中随机地取16袋,称得重量(以克计)如下:506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体方差的置信水平0.95的置信区间.解这里20.025,120.975,115,ααn16211()6.2022.15iisxx488.27)15(,262.6)15(2975.02025.02于是得到的置信水平为的置信区间为0.95即(4.58,9.60).))1()1(,)1()1((22/222/12nSnnSn2)143.92,99.20(的置信水平为的置信区间为0.95(二)两个总体的情况211(,),Nμσ222(,)Nμσ设已给定置信水平为,并设1α112,,nXXX是来自第一个总体的样本,212,,nYYY是来自第二个总体的样本,这两个样本相互独立.且设分别,XY为第一、二个总体的样本均值,2212,SS为第一、二个总体的样本方差.两个总体均值差的置信区间12μμ1.12212,σσ为已知因为相互独立,,XY所以相互独立.,XY故或),(~),,(~22221211nNYnNX),(~22212121nnNYX)1,0(~)()(22212121NnnYX于是得到的置信水平为的置信区间为1α12μμ222212,σσσ为未知2σ其中2,ωωSS222112212(1)(1).2ωnSnSSnn)(2221212/1nnuYX)2(~11)()(212121nntnnSYX于是得到的置信水平为的置信区间为1α12μμ)11)2((21212/1nnSnntYX3°已知时2122/),(~),,(~22221211nNYnNX因为),(~22112121nnNYX所以)1(~)1(),1(~)1(22222221221211nSnnSn又因为)2(~)1()1(2122122221211nnSnSn所以)2(~2)1()1(1)(2121212222121121121nntnnSnSnnnYX)2(~)2(/)1()1()(2112212122221121nntnnnnnnSnSnYX4°12、22未知，且n1,n2较大(如大于50)由于n1,n2较大，12S12、22S22，仿(1)选取)1,0()(222212121NnSnSYXU近似121uUP根据因此置信度为1-的1-2置信区间可为2221211222121122,nSnSuYXnSnSuYX例3为比较I,Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度,随机地取I型子弹10发,得到枪口速度的平均值为标准差随机地取Ⅱ型子弹20发,得到枪口速度的平均值为标准差假设两总体都可认为近似地服从正态分布.且生产过程可认为方差相等.求两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间.1500(),xms211.10(),sms2496(),xms221.20().sms12μμ解依题意,可认为分别来自两总体的样本是相互独立的.又因为由假设两总体的方差相等,但数值未知,故两总体均值差的置信水平为的置信区间为12μμ1α其中2,ωωss222112212(1)(1).2ωnsnssnn)11)2((21212/121nnSnntxx这里121220.025,10,20,228,αnnnn1.1688.ωs故两总体均值差的置信水平为0.95的置信区间为12μμ1500,x2496,x(40.93)即(3.07,4.93).)11)2((21212/121nnSnntxx,048.2)28(975.0t两个总体方差比的置信区间2212σσ2.(为已知)12,μμ由即)1,1(~//2122212221nnFSS1))1,1(//)2,1({212/122212221212/nnFSSnnFP1})1,1(1)1,1(1{212/22212221212/12221nnFSSnnFSSP可得到的置信水平为的置信区间为1α2212σσ))1,1(1)1,1(1(212/22212221212/12221nnFSSnnFSS例4研究由机器A和机器B生产的钢管的内径,随机地抽取机器A生产的钢管18只,测得样本方差随机地取机器B生产的钢管13只,测得样本方差设两样本相互独立,且设由机器A和机器B生产的钢管的内径分别服从正态分布这里(i=1,2)均未知.试求方差比的置信水平为0.90的置信区间.2210.34();smm2,iiμσ2220.29().smm221122,,,,NμσNμσ2212σσ,59.2)12,17((95.0F)38.2)17,12(95.0F这里0.10,20.05,120.95,ααα即(0.45,2.79).22112218,0.34,13,0.29.nsns解故两总体方差比的置信水平为0.90的置信区间为2212σσ))1,1(1)1,1(1(212/22212221212/12221nnFSSnnFSS,59.2)12,17(95.0F)12,17(05.0F)17,12(195.0F38.21课堂练习._________95.0,4016),1,()(1的置信区间为：的置信度为则得到长度的平均值为个零件，从中随机抽取正态分布服从单位：一批零件的长度、已知cmNcmX)49.40,51.39(:答案._______2)()(,,,,,),,(),,(221121212122211221nnYYXXEYXYYXXXNYNXninjjinn的简单随机样本，则和分别是来自总体和服从正态分布总体服从正态分布、设总体2121212)()()()(.______,)|(|.)(),10(),1,0(3uDuCuBuAxxXPuXPuNX等于则若满足数对给定的服从正态分布、设随机变量C.,,,,,0,0,2);(421)(2最大似然估计值求参数的一组样本观测值是设为未知参数其中的概率密度为：命、设某种元件的使用寿XxxxxxexfXnx),,,min(:21nxxx答案5、某单位要估计平均每天职工的总医疗费，观察了30天,其总金额的平均值是170元,标准差为30元，试决定职工每天总医疗费用平均值的区间估计（置信水平为0.95）.解设每天职工的总医疗费为X，近似服从正态分布X),(2nN由中心极限定理，2E(X)=,D(X)=则有nSXU近似N(0,1)分布使1}|{|21unSXP],[2121unSXunSX得均值的置信水平为的区间估计为1未知，用样本标准差S近似代替.将=170,S=30,=1.96,n=30代入得,X的置信水平为0.95的置信区间是[159.27,180.74]21u],[2121unSXunSX得均值的置信水平为的区间估计为16.设12,,,nXXX是取自总体X的一个简单样本，则2()EX的矩估计是（A）22111()1niiSXXn（B）22211()niiSXXn（C）221SX（D）222SXD7.总体),(~2NX，2已知，n时，才能使总体均值的置信度为0.95的置信区间长不大于L（A）152/2L;（B）15.36642/2L;（C）162/2L;（D）16BC8.设12,,,nXXX为总体X的一个随机样本，2(),()EXDX，12211()niiiCXX为2的无偏估计，则C＝（A）1n（B）11n（C）121n（D）12n.,XT,,),(,,.92221ETSSXpnBXXXn则记统计量样本均值和样本方差分别为和的简单随机样本是来自二项分布总体设2np.95.0,60,100.10的置信区间的置信水平为求这批产品的一级品率个得一级品个样本中设取自一大批产品的p解:,1-0的参数分布总体是设Xp,,,,21的一个样本是总体设XXXXn)1()(,)(ppXDpXE则nppXDpXE)1()(,)(因为)(1充分大时近似正态分布则由中心极限定理知nXnii))(1,0(~/)1(近似所以NnpppX1/)1(21unpppXP,-1对给定的置信水平),,(:121ppp的置信区间的一个置信水平为得到)4(21),4(212221acbbapacbbap222/122/1)(),2(,XncuXnbuna其中,95.01,6.0100/60,100xn96.121u222/122/1)(),2(,XncuXnbuna现在求,84.103a,84.123b,3