因式分解(高级篇)十字相乘

知识结构因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法……一、提公因式法只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。提公因式法随堂练习：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)二、公式法只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)（立方和公式）及a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导三、十字相乘法①前面出现了一个公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常数项3=1×3而一次项系数4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暂且称为p、q型因式分解例2：因式分解x2–7x+10可以看出常数项10=(–2)×(–5)而一次项系数–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)这个公式简单的说，就是把常数项拆成两个数的乘积，而这两个数的和刚好等于一次项系数十字相乘法①随堂练习：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2特点：二次项系数为1三、十字相乘法②试因式分解6x2+7x+2。这里就要用到十字相乘法（适用于二次三项式）。既然是二次式，就可以写成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=所以，需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积，而这四个数中，两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数，那么因式分解就成功了。acad+bcbd2()()xx=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)(ax+b)(cx+d)=acad+bcbd2()()xxabcd=–65x2–6xy–8y2试因式分解5x2–6xy–8y2。这里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中。十字相乘法②随堂练习：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy2课时四、分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a(b–c)+d(b–c)=(a+d)(b–c)还有别的解法吗？四、分组分解法要发现式中隐含的条件，通过交换项的位置，添、去括号等一些变换达到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b(a+d)–c(a+d)=(a+d)(b–c)例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分组分解法随堂练习：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1回顾例题：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)*五、拆项、添项法怎么结果与刚才不一样呢？因为它还可以继续因式分解拆项添项法对数学能力有着更高的要求，需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解，要对结果有一定的预见性，尝试较多，做题较繁琐。最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式，有时要根据形式猜测可能的系数。五*、拆项添项法因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方项猜测使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆项添项法随堂练习：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn配方法配方法是一种特殊的拆项添项法，将多项式配成完全平方式，再用平方差公式进行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆项添项法)分组分解法完全平方公式平方差公式六*、待定系数法试因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。通过十字相乘法得到(2x–3y)(x+3y)设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)通过比较两式同类项的系数可得：解得：，∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)333142baba54ba待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。22239()(233)xxyyxybababa=3=1410+42x2+3xy–9y2+14x–3y+20双十字相乘法双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解，而待定系数法则没有这个限制。因式分解2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。21–336–345=–312–15∴原式=(2x–3y+4)(x+3y+5)七*、求根法设原多项式等于零，解出方程的解x1、x2……，则原式就可以分解为(x–x1)(x–x2)(x–x3)……更多的方法需要同学们自己去寻找!多练才能拥有自己的解题智慧!综合训练(一)15314392112233122254122442333324442232xxabccbaxxyyxxabbakxkxxxxxxx⑧⑦⑥⑤④③②①因式分解：综合训练(二)。和这两个整数是之间的两个整数整除，到能被、________5040171242、x2y–y2z+z2x–x2z+y2x+z2y–2xyz因式分解后的结果是()。A.(y–z)(x+y)(x–z)B.(y–z)(x–y)(x+z)C.(y+z)(x–y)(x+z)D.(y+z)(x+y)(x–z)3、因式分解x3+6x2+11x+6。。，整除，则能被、已知多项式______127321234baxxbxaxxx综合训练(三)。则，满足、、已知___22452201122yxyxyxyx。，则、已知___124333bababa总结训练(一)的值。试求代数式的一个根，是方程、设131593320132123452aaaaaaxxa。，求满足方程组、、、已知正实数___2521822922222cbabcacabcbacbacba总结训练(二)的值。的一个因式，求是、已知mymxyxyx434322的所有正整数解。、求方程24yxxy。、因式分解198719861987524xxx