2013届高考数学一轮复习 5-4数列的通项与求和课件 理 新人教A版

第五章数列第4课时数列的通项与求和考纲下载1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．请注意！1.等差数列和等比数列前n项和公式是非等差、非等比数列求和的基础，也是高考考查的重点．2.对非等差、非等比数列的求和，通常涉及倒序相加法求和、错位相减法求和以及裂项相消法求和，体现转化与化归思想，主要考查观察分析及运算化简能力．3.数列求和常与函数、方程、不等式等知识联系，综合性强，往往成为高考命题的中、高档试题．高考考点预览■·考点梳理·■数列求和的常用方法(1)公式法①直接利用等差、等比数列的前n项和公式求和．②一些常见数列前n项和公式12＋22＋32＋…＋n2＝n（n＋1）（2n＋1）6；2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；13＋23＋…＋n3＝[n（n＋1）2]2＝n2（n＋1）24.(2)倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．n2(3)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．(4)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．(5)分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.■·考点自测·■1.[2012·北京日坛中学月考]已知数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＋1＝|an－an－1|(n≥2)，则该数列前2011项的和S2011等于()A.1341B.669C.1340D.1339答案：A解析：列举数列各项为：1，1，0，1，1，0，….∵2011＝3×670＋1，∴S2011＝2×670＋1＝1341.2.[2012·潍坊联考]若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝10，则S11的值为()A.12B.18C.22D.44答案：C解析：依题意得S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝10，所以a6＝2，S11＝11（a1＋a11）2＝11a6＝22，选C.3.[2012·天津河西区]将n2(n≥3)个正整数1，2，3，…，n2填入n×n方格中，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方．记f(n)为n阶幻方对角线上数的和，如下表就是一个3阶幻方，可知f(3)＝15，则f(n)＝()816357492A.12n(n2＋1)B.12n2(n＋1)－3C.12n2(n2＋1)D.n(n2＋1)答案：A解析：本题以幻方为载体考查了数列的求和问题．由已知可得f(n)＝1n(1＋2＋3＋…＋n2)＝1n×n2（n2＋1）2＝n（n2＋1）2.4.已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则Sn＝________．答案：(n－1)·2n＋1＋2解析：∵Sn＝2＋2·22＋3·23＋…＋n·2n①∴2Sn＝22＋2·23＋3·24＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1②①－②得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝2（1－2n）1－2－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1，∴Sn＝(n－1)·2n＋1＋2.5.[2012·衡水调研]求sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°的值．解：令S＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°，①则S＝sin289°＋sin288°＋…＋sin22°＋sin21°＝cos21°＋cos22°＋…＋cos288°＋cos289°，②①＋②得：2S＝(sin21°＋cos21°)＋(sin22°＋cos22°)＋…＋(sin288°＋cos288°)＋(sin289°＋cos289°)＝89，∴S＝892.高考测点典例研习例1[2011·山东]等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在表的同一列．第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818分组求和法(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nlnan，求数列{bn}的前n项和Sn.[思路点拨](1)检验出适合条件的a1，a2，a3再确定通项．(2)确定bn后，适当调整为三部分，分别求和．[解](1)当a1＝3时，不合题意；当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意；当a1＝10时，不合题意．因此a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比q＝3.故an＝2·3n－1.(2)因为bn＝an＋(－1)nlnan＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)＝2·3n－1＋(－1)n[ln2＋(n－1)ln3]＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3.所以当n为偶数时，Sn＝2×1－3n1－3＋n2ln3＝3n＋n2ln3－1；当n为奇数时，Sn＝2×1－3n1－3－(ln2－ln3)＋(n－12－n)·ln3＝3n－n－12ln3－ln2－1.综上所述，Sn＝3n＋n2ln3－1，n为偶数，3n－n－12ln3－ln2－1，n为奇数.[规律总结]先将求和式中的项进行适当分组调整，使之每一个组为等差或等比数列，然后分别求和，从而得出原数列的和．它是通过对数列通项结构特点的分析研究，将数列分解转化为若干个能求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和的一种求和方法．[变式探究1](1)数列{an}满足an＝n＋1（n为奇数）2n（n为偶数），求S98.(2)求数列－12，22，－32，42，…，(－1)n·n2的前69项的和S69.解：(1)S98＝(a1＋a3＋…＋a97)＋(a2＋a4＋…＋a98)＝(2＋4＋…＋98)＋(22＋24＋…＋298)＝49（2＋98）2＋22－21001－22＝13·2100＋73463.(2)S69＝－12＋22－32＋42－…＋682－692＝(22－12)＋(42－32)＋…＋(682－672)－692＝(2＋1＋4＋3＋…＋68＋67)－692＝68×（1＋68）2－692＝－2415.错位相减法求和例2[2010·新课标全国卷]设数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＝3·22n－1，(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝nan，求数列的前n项和Sn.[思路点拨]根据题目中的递推关系可得数列的通项公式，在解决第(2)问时观察数列通项公式的特点可以发现是一个等差数列乘以一个等比数列，所以适合用错位相减法求和．[解](1)由已知，当n≥1时，an＋1＝[(an＋1－an)＋(an－an－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2适合，所以数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由bn＝nan＝n·22n－1知Sn＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n·22n－1①从而22·Sn＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n·22n＋1②①－②得：(1－22)·Sn＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即Sn＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．[规律总结]1.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法．2.用乘公比错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．[变式探究2][2012·山西四校第一次联考]已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(2n－1)an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n2①，∴当n≥2时，a1＋2a2＋…＋2n－2an－1＝n－12②，①－②得，2n－1an＝12，∴an＝12n(n≥2)③，又∵a1＝12也适合③式，∴an＝12n(n∈N*)．(2)由(1)知bn＝(2n－1)·12n，∴Sn＝1·12＋3·122＋5·123＋…＋(2n－1)·12n④，12Sn＝1·122＋3·123＋5·124＋…＋(2n－1)·12n＋1⑤，④－⑤得，12Sn＝12＋2(122＋123＋…＋12n)－(2n－1)·12n＋1＝12＋2·14（1－12n－1）1－12－(2n－1)·12n＋1＝12＋1－12n－1－(2n－1)·12n＋1＝32－2n＋32n＋1，∴Sn＝3－2n＋32n.例3[2011·大纲全国]设数列{an}满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝∑nk＝1bk，证明：Sn1.裂项相消法求和[思路点拨](1)先发现数列{11－an}为等差数列．(2)表示出bn，就可发现写成多项式形式，即两项的差的形式，用裂项相消法求和，即可证Sn1.[解](1)由题设11－an＋1－11－an＝1，得{11－an}是公差为1的等差数列．又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)由(1)得bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，Sn＝k＝1nbk＝k＝1n(1k－1k＋1)＝1－1n＋11.[规律总结]使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．[变式探究3][2012·郑州模拟]已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝x，x∈R，数列{an}，{bn}满足条件：a1＝1，an＝f(bn)＝g(bn＋1)，n∈N*.(1)求证：数列{bn＋1}为等比数列；(2)令cn＝2nan·an＋1，Tn是数列{cn}的前n项和，求使Tn20092010成立的n的最小值．解：(1)由题意得2bn＋1＝bn＋1，∴bn＋1＋1＝2bn＋2＝2(bn＋1)，又∵a1＝2b1＋1，∴b1＝0，b1＋1＝1≠0，∴数列{bn＋1}是以1为首项，2为公比的等比数列．(2)由(1)知，bn＋1＝2n－1，∴an＝2bn＋1＝2n－1，故cn＝2nanan＋1＝2n（2n－1）（2n＋1－1）＝12n－1－12n＋1－1.∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1－13)＋(13－17)＋…＋(12n－1－12n＋1－1)＝1－12n＋1－1.由Tn20092010，且n∈N*，解得满足条件的最小的n值为10.思想方法导悟数列求和的方法(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：①转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成．②不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.创新演练·当堂冲关1.[2012·豫南九校联考]设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab1＋ab2＋…＋ab10＝(