2013届高考数学一轮复习讲义 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

一轮复习讲义简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“”、“”、“”叫做逻辑联结词．(2)用来判断复合命题真假的真值表：pq綈p綈qp∨qp∧q綈(p∨q)綈(p∧q)綈p∨綈q綈p∧綈q真真假假真假假真假假真真假假真真假假真假假假真真假真真要点梳理忆一忆知识要点或且非真真真假假假假假真真真真假2.全称量词与存在量词(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．(3)全称量词用符号“”表示；存在量词用符号“”表示．(4)全称命题与存在性命题①的命题叫全称命题．②的命题叫存在性命题．忆一忆知识要点∀∃含有全称量词含有存在量词要点梳理3．命题的否定(1)全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．(2)“p或q”的否定为：“非p且非q”；“p且q”的否定为：“非p或非q”．忆一忆知识要点要点梳理[难点正本疑点清源]1．逻辑联结词“或”的含义有三种逻辑联结词中的“或”的含义，与并集概念中的“或”的含义相同．如“x∈A或x∈B”，是指：x∈A且x∉B；x∉A且x∈B；x∈A且x∈B三种情况．再如“p真或q真”是指：p真且q假；p假且q真；p真且q真三种情况．因此，在遇到逻辑联结词“或”时，要注意分析三种情况．2．正确区别：命题的否定与否命题“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．命题的否定与原命题的真假总是对立的，即两者中有且只有一个为真，而原命题与否命题的真假无必然联系．例1已知命题p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数，p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(綈p1)∨p2和q4：p1∧(綈p2)中，真命题是________．含有逻辑联结词命题的真假判断先判断p1和p2的真假，然后对用逻辑联结词构成的复合命题进行真假判断．因为y＝2x为增函数，y＝2－x为减函数，所以p1：y＝2x－2－x在R上为增函数为真命题，p2：y＝2x＋2－x在R上为减函数为假命题．即綈p2为真命题．所以q1，q4为真命题．答案q1，q4(1)判断含有逻辑联结词的复合命题的真假，关键是对逻辑联结词“且”“或”“非”含义的理解．(2)解决该类问题的基本步骤：①弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假；②明确其构成形式；③根据复合命题真假规律判断构成新命题的真假．探究提高写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式的复合命题，并判断真假．(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．变式训练1(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．綈p：1不是素数．真命题．(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．綈p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．綈p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．例2写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p：∀x∈R，x2－x＋14≥0；(2)q：所有的正方形都是矩形；(3)r：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；(4)s：至少有一个实数x0，使x30＋1＝0.含有一个量词的命题的否定否定量词，否定结论，写出命题的否定；判断命题的真假．(1)綈p：∃x0∈R，x20－x0＋140，假命题．(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题．(3)綈r：∀x∈R，x2＋2x＋20，真命题．(4)綈s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题．全称命题与存在性命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和存在性命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论．而一般命题的否定只需直接否定结论即可．探究提高写出下列命题的否定，并判断真假．(1)p：∀x0，都有x2－x≤0；(2)q：∃x∈R,2x＋x2≤1.变式训练2(1)綈p：∃x0，使x2－x0，为真命题．(2)綈q：∀x∈R,2x＋x21，为假命题．例3设a为实数，给出命题p：关于x的不等式12|x－1|≥a的解集为∅，命题q：函数f(x)＝lgax2＋(a－2)x＋98的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求a的取值范围．根据含有逻辑联结词的命题的真假，求参数的取值范围命题p和q中有且仅有一个正确，考虑到两种情况：p真q假，p假q真，可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．若p正确，则由012|x－1|≤1，得a1.②若q正确，则ax2＋(a－2)x＋980解集为R.当a＝0时，－2x＋980不合题意，舍去；当a≠0时，则a0(a－2)2－4a×980，解得12a8.③∵p和q中有且仅有一个正确，∴a1a≤12或a≥8或a≤112a8，∴a≥8或12a≤1.含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假，求出此时参数成立的条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件．探究提高已知a0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立．若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围．变式训练3∵函数y＝ax在R上单调递增，∴p：a1.不等式ax2－ax＋10对∀x∈R恒成立，∴a0且a2－4a0，解得0a4，∴q：0a4.∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴p、q中必有一真一假．①当p真，q假时，a1a≥4，得a≥4.②当p假，q真时，0a≤10a4，得0a≤1.故a的取值范围为(0,1]∪[4，＋∞)．(14分)已知c0，且c≠1，设p：函数y＝cx在R上单调递减；q：函数f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，若“p且q”为假，“p或q”为真，求实数c的取值范围．借助逻辑联结词求解参数范围问题答题模板(1)p、q真时，分别求出相应的a的范围；(2)用补集的思想，求出綈p、綈q分别对应的a的范围；(3)根据“p且q”为假、“p或q”为真，确定p、q的真假．规范解答∵函数y＝cx在R上单调递减，∴0c1.[2分]即p：0c1，∵c0且c≠1，∴綈p：c1.[4分]又∵f(x)＝x2－2cx＋1在12，＋∞上为增函数，∴c≤12.即q：0c≤12，∵c0且c≠1，∴綈q：c12且c≠1.[6分]又∵“p或q”为真，“p且q”为假，∴p真q假或p假q真．[8分]①当p真，q假时，{c|0c1}∩c|c12且c≠1＝c|12c1.[10分]②当p假，q真时，{c|c1}∩c|0c≤12＝∅.[12分]综上所述，实数c的取值范围是c|12c1.[14分]答题模板第一步：求命题p、q对应的参数的范围．第二步：求命题綈p、綈q对应的参数的范围．第三步：根据已知条件构造新命题，如本题构造新命题“p真q假”或“p假q真”．第四步：根据新命题，确定参数的范围．第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．批阅笔记解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来，然后转化为集合交、并、补的基本运算．答题时，可依答题模板的格式进行，这样可使答题思路清晰，过程完整．老师在阅卷时，便于查找得分点．1．要写一个命题的否定，需先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定．判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称命题为真．2．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假．3．全称命题与存在性命题可以互相转化，即从反面处理，再求其补集．方法与技巧1．p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q为真命题，必须p、q同时为真．2．p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q.3．全称命题的否定是存在性命题；存在性命题的否定是全称命题．4．简单逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简单逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系．失误与防范命题全称命题xA,p(x)特称命题xA,p(x)表述方法所有的xA,p(x)成立存在xA,使p(x)成立对一切xA,p(x)成立至少有一个xA,使p(x)成立对每一个xA,p(x)成立对有些xA,使p(x)成立任选一个xA,p(x)成立对某个xA,使p(x)成立凡xA,都有p(x)成立有一个xA,使p(x)成立☞同一个含量词的命题,可能有不同的表述方法要点梳理忆一忆知识要点题型一含有逻辑联结词的命题真假判断1.判断含有逻辑联结词的命题真假的关键是对逻辑联结词“或”、“且”、“非”含义的理解.数学中的逻辑联结词“或”与日常生活中的“或”意义不同，日常生活中的“或”带有不能同时具备之意.数学中的逻辑联结词“且”与日常生活中的“且”意义基本一致，表示而且的意思.数学中的逻辑联结词“非”与日常生活中的“非”意义基本一致，表示否定的意思.例1.已知命题p:∃x∈R,使tanx＝1,命题q:x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧￢q”是假命题；③命题“￢p∨q”是真命题；④命题“￢p∨￢q”是假命题.其中正确的是.题型一含有逻辑联结词的命题真假判断①②③④题型二含有量词的命题及其真假判断1.要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，验证p(x)成立.2.要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x＝x0，使p(x0)不成立即可.3.要判断一个存在性命题是真命题，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题.典例精讲典例精讲题型二含有量词的命题及其真假判断例2.判断下列命题是否是全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；(2)任何一条直线都存在斜率；(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0有唯一解；(4)存在实数x，使得.2121xx∃α∈R，sin2α＋cos2α≠1.是一个假命题.212.1xx(1)有一个实数α，sin2α＋cos2α≠1；是一个存在性命题，用符号表示为：(2)任何一条直线都存在斜率；是一个全称命题，用符号表示为：∀直线l，l存在斜率.是一个假命题.(3)所有的实数a，b，方程ax＋b＝0有唯一解；是一个全称命题，用符号表示为：∀a，b∈R，方程ax＋b＝0有唯一解.是一个假命题.(4)存在实数x，使得是一个存在性命题，用符号表示为：∃x∈R，是一个假命题.212.1xx题型二全(特)称命题及其真假判断题型三含有一个量词的命题的否定例3.写出下列命题的否定并判断真假.(1)p：所有末位数字是0的整数都能被5整除；(2)q：∀x≥0，x2＞0；(3)r：存在一个三角形，它的内角和大于180°；(4)t：某些梯形的对角线互相平分.例3.写出下列命题的否定并判断真假.(1)p