2013届高考数学一轮复习讲义：第五章 5.3 平面向量的数量积

一轮复习讲义平面向量的数量积1．平面向量的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量叫做a和b的数量积(或内积)，记作.规定：零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂直的充要条件是，两个非零向量a与b平行的充要条件是.要点梳理忆一忆知识要点|a||b|cosθa·b＝|a||b|cosθ0a·b＝±|a||b|a·b＝02．平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影的乘积．|b|cosθ3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a＝a·e＝；(2)非零向量a，b，a⊥b⇔；(3)当a与b同向时，a·b＝；当a与b反向时，a·b＝，a·a＝a2，|a|＝；(4)cosθ＝；(5)|a·b||a||b|.忆一忆知识要点|a|cosθa·b＝0|a||b|－|a||ba·aa·b|a||b|≤4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝(交换律)；(2)(λa)·b＝＝(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.b·aλ(a·b)a·(λb)要点梳理5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝或|a|＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|AB→|＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔.忆一忆知识要点x1－x22＋y1－y22x1x2＋y1yx2＋y2x1x2＋y1y2＝022xy要点梳理[难点正本疑点清源]1．向量的数量积是一个实数两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关，在运用向量的数量积解题时，一定要注意两向量夹角的范围．2．数量积的运算只适合交换律、加乘分配律及数乘结合律，但不满足向量间的结合律，即(a·b)c不一定等于a(b·c)．这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线．例1已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．平面向量的数量积的运算方法一由题意，得|a|＝|b|＝1，a·b＝0.又(a－c)·(b－c)＝0，所以|c|2＝c·(a＋b)＝|c||a＋b|·cosθ，其中θ是c与a＋b的夹角，所以|c|＝|a＋b|cosθ＝2cosθ.又θ∈[0，π]，所以|c|的最大值是2.方法二设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x,1－y)．又(a－c)·(b－c)＝0，所以(1－x)·(－x)－y(1－y)＝0，从而得到圆：x－122＋y－122＝12，所以向量c的起点即坐标原点在这个圆上，终点也在这个圆上．又圆上两点间的最大距离等于圆的直径长，所以|c|的最大值是2.方法三因为(a－c)·(b－c)＝0，所以a－c与b－c互相垂直．又a，b是两个互相垂直的单位向量，所以a，b，a－c，b－c构成的四边形是圆内接四边形，c为其对角线．所以当c是直径时，|c|达到最大值，这时圆内接四边形是以a，b为邻边的正方形，所以|c|的最大值是2.答案2方法一的难点是如何利用条件建立|c|的表达式，突破这一难点的方法就是结合条件利用向量的数量积将|c|用|a＋b|cosθ＝2cosθ来表示即可．方法二的难点是如何建立c坐标的关系式，要突破这一难点就要先设向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，再由条件建立c的坐标的关系式x－122＋y－122＝12即可．方法三的难点是对向量几何意义的挖掘，突破这一难点，要由条件得出向量c是向量a，b，a－c，b－c构成的圆内接四边形的对角线．探究提高(1)若向量a的方向是正南方向，向量b的方向是正东方向，且|a|＝|b|＝1，则(－3a)·(a＋b)＝______.变式训练1(1)如图所示，由已知，作OA→＝a，OB→＝b，OA→、OB→的方向分别是正南、正东方向，且|a|＝|b|＝1，则OC→＝－3a的方向是正北方向，|OC→|＝|－3a|＝3|a|＝3，OD→＝OA→＋OB→＝a＋b的方向是东南方向，|a＋b|＝2(四边形OADB是正方形)，且OC→与OD→的夹角是∠COD＝135°，所以(－3a)·(a＋b)＝3×2×cos135°＝32×－22＝－3.(2)设BD＝a，则BC＝3a，作CE⊥BA交的延长线于E，可知∠DAC＝∠ACE，在Rt△ABD中，sinB＝1BD＝1a.在Rt△BEC中，CE＝BC·sinB＝3a·1a＝3，∴cos∠DAC＝cos∠ACE＝3AC.∴AD→·AC→＝|AD→|·|AC→|cos∠DAC＝AD·AC·3AC＝3.答案(1)－3(2)3(2)如图，在△ABC中，AD⊥AB，BC→＝3BD→，|AD→|＝1，则AC→·AD→＝________.例2已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61，(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|；(3)若AB→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积．向量的夹角与向量的模运用数量积的定义和|a|＝a·a.解(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61，∴a·b＝－6.∴cosθ＝a·b|a||b|＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.(2)可先平方转化为向量的数量积．|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a＋b|＝13.(3)∵AB→与BC→的夹角θ＝2π3，∴∠ABC＝π－2π3＝π3.又|AB→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，∴S△ABC＝12|AB→||BC→|sin∠ABC＝12×4×3×32＝33.(1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝a·a要引起足够重视，它是求距离常用的公式．(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系．在向量的运算中，灵活运用运算律，达到简化运算的目的．探究提高(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．变式训练2解(1)∵β＝(2,0)，∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0.∴α·β＝12.∴(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴|2α＋β|＝10.(2)由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos120°＋3cos120°＝－32，|a＋b＋c|＝a＋b＋c2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋4＋9＋4cos120°＋6cos120°＋12cos120°＝3.设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cosθ＝a＋b＋c·a|a＋b＋c||a|＝－323＝－32，即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.例3已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)(0αβπ)．(1)求证：a＋b与a－b互相垂直；(2)若ka＋b与a－kb的模相等，求β－α.(其中k为非零实数)平面向量的垂直问题(1)证明两向量互相垂直，转化为计算这两个向量的数量积问题，数量积为零即得证．(2)由模相等，列等式、化简．(1)证明∵(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝(cos2α＋sin2α)－(cos2β＋sin2β)＝0，∴a＋b与a－b互相垂直．(2)解ka＋b＝(kcosα＋cosβ，ksinα＋sinβ)，a－kb＝(cosα－kcosβ，sinα－ksinβ)，|ka＋b|＝k2＋2kcosβ－α＋1，|a－kb|＝1－2kcosβ－α＋k2.∵|ka＋b|＝|a－kb|，∴2kcos(β－α)＝－2kcos(β－α)．又k≠0，∴cos(β－α)＝0.而0αβπ，∴0β－απ，∴β－α＝π2.(1)当向量a与b是坐标形式给出时，若证明a⊥b，则只需证明a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(2)当向量a，b是非坐标形式时，要把a，b用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算证明a·b＝0.(3)数量积的运算中，a·b＝0⇔a⊥b中，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.探究提高已知平面向量a＝(3，－1)，b＝12，32.(1)证明：a⊥b；(2)若存在不同时为零的实数k和t，使c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，试求函数关系式k＝f(t)．变式训练3(1)证明∵a·b＝3×12－1×32＝0，∴a⊥b.(2)解∵c＝a＋(t2－3)b，d＝－ka＋tb，且c⊥d，∴c·d＝[a＋(t2－3)b]·(－ka＋tb)＝－ka2＋t(t2－3)b2＋[t－k(t2－3)]a·b＝0，又a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝1，a·b＝0，∴c·d＝－4k＋t3－3t＝0，∴k＝f(t)＝t3－3t4(t≠0)．三审图形抓特点审题路线图(5分)如图所示，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD→＝xAB→＋yAC→，则x＝________，y＝________.审题路线图图形有一副三角板构成↓(注意一副三角板的特点)令|AB|＝1，|AC|＝1↓(一副三角板的两斜边等长)|DE|＝|BC|＝2↓(非等腰三角板的特点)|BD|＝|DE|sin60°＝2×32＝62↓(注意∠ABD＝45°＋90°＝135°)AD→在AB→上的投影即为x↓x＝|AB|＋|BD|cos45°＝1＋62×22＝1＋32↓AD→在AC→上的投影即y↓y＝|BD|·sin45°＝62×22＝32.方法一结合图形特点，设向量AB→，AC→为单位向量，由AD→＝xAB→＋yAC→知，x，y分别为AD→在AB→，AC→上的投影．又|BC|＝|DE|＝2，∴|BD→|＝|DE|·sin60°＝62.∴AD→在AB→上的投影x＝1＋62cos45°＝1＋62×22＝1＋32，AD→在AC→上的投影y＝62sin45°＝32.方法二∵AD→＝xAB→＋yAC→，又AD→＝AB→＋BD→，∴AB→＋BD→＝xAB→＋yAC→，∴BD→＝(x－1)AB→＋yAC→.又AC→⊥AB→，∴BD→·AB→＝(x－1)AB→2.设|AB→|＝1，则由题意|DE→|＝|BC→|＝2.又∠BED＝60°，∴|BD→|＝62.显然BD→与AB→的夹角为45°.∴由BD→·AB→＝(x－1)AB→2，得62×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝32＋1.同理，在BD→＝(x－1)AB→＋yAC→两边在AC→取数量积可得y＝32.突破本题的关键是，要抓住图形的特点(图形由一副三角板构成)．根据图形的特点，利用向量分解的几何意义，求解方便快捷．方法二是原试题所给答案，比较方法一，略显繁杂．1．向量的数量积的运算法则不具备结合律，但运算律和实数运算律类似．如(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(λa＋μb)·(sa＋tb)＝λsa2＋(λt＋μs)a·b＋μtb2(λ，μ，s，t∈R)．2．求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算．3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法技巧．方法与技巧1．(1)0与实数0的区别：0a＝0≠0，a＋(－a)＝0≠0，a·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系．2．a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，