2018年衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷--分科综合卷-理科数学(三)(解析版)

页1第2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（三）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足（为虚数单位），其共轭复数为，则为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，故.2.已知，（其中，，），则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由诱导公式得，故为钝角，为锐角.且，，.3.已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】对于集合，，解得.由于故.4.某高三学生进行考试心理素质测试，场景相同的条件下每次通过测试的概率为，则连续测试4次，至少有3次通过的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】次独立重复实验，故概率为.5.已知，，，，若页2第，则的值为（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】通过归纳得，故解得.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...6.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，若，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依题意，代入得，即，两边除以得，解得.7.将函数图像上的所有点向右平移个单位长度后得到函数的图像，若在区间上单调递增，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】右移个单位得到，根据余弦函数的图像可知，，即时递增，故的最大值为.8.如图是计算的程序框图，若输出的的值为，则判断框中应填入的条件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由于，故时要判断否，再循环一次，时判断是，退出循环结构，故选.9.朱世杰是历史上有名的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数一五间”，有如下问题：“今页3第有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日？”其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在这个问题中，第8天应发大米（）A.350升B.339升C.2024升D.2124升【答案】D【解析】令派遣人数的等差数列为，设，其前项和为，令，解得.，故要发米升.10.已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥内切球的半径为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体是如下图所示的，设为的中点，通过计算得,，所以，而在等腰三角形中，故平面，所以.设内切球的半径为，则，即，故.页4第11.如图所示，在矩形中，，，为边的中点，现将绕直线翻转至处，若为线段的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A.B.2C.D.4【答案】A【解析】取的中点，连接，由于是的中点，故，且，故四边形为平行四边形，故，在中，，即异面直线与所成角的正切值为.页5第【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，考查两条异面直线所成的角.要求两条异面直线所成的角，思路是将它们平移到同一个平面、同一个三角形内，然后利用解三角形来求得它们所成角的大小或某个三角函数值.本题中通过平行四边形构造了线线平行，使得两条异面直线平移到平面中，解这个直角三角形即可得到所求.12.若函数图像上存在两个点，关于原点对称，则对称点为函数的“孪生点对”，且点对与可看作同一个“孪生点对”.若函数恰好有两个“孪生点对”，则实数的值为（）A.0B.2C.4D.6【答案】A【解析】当时，，故函数在区间上递减，在上递增.故在处取得极小值.根据孪生点对的性质可知，要恰好有两个孪生点对，则需当时，函数图像与的图像有两个交点，即.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的图像与性质，考查新定义问题的处理方法，考查函数图像关于原点对称点的处理策略.要分段函数两段图像有关于原点的对称点，一般可以将较简单的一段，关于原点对称的表达式求解出来，如本题中的，关于原点对称即为.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.的展开式中含项的系数为__________．【答案】18【解析】含项为，故系数为.14.如图所示，在正方形中，点为边的中点，点为边上的靠近点的四等分点，点为边页6第上的靠近点的三等分点，则向量用与表示为__________．【答案】【解析】设正方形的边长为，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，设，即，解得，即.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算.由于题目所给图形为正方形，故考虑建立平面直角坐标系，利用坐标来计算会使得运算简单明了.由此考虑设出正方形的边长，为了使得运算不出现分数，采用的最小公倍数作为正方形的边长，再根据点的位置，得出坐标，代入即可求得.15.已知在等腰梯形中，，，，双曲线以，为焦点，且与线段，（包含端点，）分别有一个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是__________．【答案】【解析】以线段的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，则双曲线，.设双曲线方程为，只需点在双曲线右支图像的上方（包括在图像上）即可，也即，两边乘以得，由于，所以上式化为，解得，，故.【点睛】本题主要考查平面解析几何的思想方法，将几何问题代数化.由于题目涉及到双曲线，故首先建立平面直角坐标系，根据题意，以的中点为坐标原点来建立坐标系，由此可知双曲线焦点在轴上，并且页7第.建系后可利用角度得到点的坐标，根据题意，点应该在双曲线图像的上方，由此可列不等式，求得的范围，进而求得离心率的范围.16.已知数列满足，，若，则数列的前项和__________．【答案】【解析】当时，，两边取以2为底的对数可得，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，，，又，可得，两边取倒数可得，即，因此，所以，故答案为.点睛：本题主要考查了通过数列递推式求数列的通项公式，根据通项公式的特征求数列的前项和，本题存在两大难点，一是构造数列是以1为首项，2为公比的等比数列，求出；二是对，两边取倒数构造化简出，根据列项求和的特征求出结果.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在中，角，，的对边分别为，，，且，为边上一点，，.（1）求的面积；（2）若，求角的大小.【答案】(1)2;(2)角的大小为.【解析】【试题分析】（1）利用三角形内角和定理和两角和的正弦、余弦公式，将题目所给等式化简为只含有的式子，由此求得，在利用三角形面积公式可求得三角形面积.（2）用余弦定理求得，所页8第以.又由已知，得.【试题解析】（1）由，可知，即，即.因为在中，，所以，所以.（2）在中，由余弦定理，可知，所以，所以，所以.又由已知，得，故角的大小为.18.如图所示，在三棱锥中，平面平面，，，，.（1）证明：平面；（2）若二面角的平面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.【解析】【试题分析】（1）用余弦定理求得，故三角形为直角三角形，即，根据面面垂直的性质定理可知平面，所以，结合可得平面.（2）过点作，垂足为，连接.易证得即为直线与平面所成的角.计算的的长度，两者相比即得到所求线面角的正弦值为【试题解析】页9第（1）在中，因为，，，所以由余弦定理，可知，所以.故，即有.又因为平面平面，且平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.又因为，，所以平面.（2）过点作，垂足为，连接.由（1），知平面，平面，所以.又，所以平面，因此即为直线与平面所成的角.又由（1）的证明，可知平面，又平面，平面，所以，，故即为二面角的平面角，即.故在中，由，得.在中，，且.因此在中，得，故直线与平面所成角的正弦值为.19.某葡萄基地的种植专家发现，葡萄每株的收获量（单位：）和与它“相近”葡萄的株数具有线性相关关系（所谓两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近葡萄的株数为1,2,3,4,5,6,7时，该葡萄每株收获量的相关数据如下：1235671513121097页10第（1）求该葡萄每株的收获量关于它“相近”葡萄的株数的线性回归方程及的方差；（2）某葡萄专业种植户种植了1000株葡萄，每株“相近”的葡萄株数按2株计算，当年的葡萄价格按10元/投入市场，利用上述回归方程估算该专业户的经济收入为多少万元；（精确到0.01）（3）该葡萄基地在如图所示的正方形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点）处都种了一株葡萄，其中每个小正方形的面积都为，现在所种葡萄中随机选取一株，求它的收获量的分布列与数学期望.（注：每株收获量以线性回归方程计算所得数据四舍五入后取的整数为依据）【答案】（1）线性回归方程为，方差为7；（2）总收入为；（3）见解析.【解析】【试题分析】（1）利用回归直线方程的公式，计算的值，由此求得回归直线方程.利用样本方差的公式计算得方差.（2）将代入回归直线方程，求得对应预报变量的值，进而求得总收入.（3）可能的取值为，利用回归直线方程，求出对应的值为，求得对应概率后列表得到分布列并计算出期望值.【试题解析】（1）由题意，可知，.，，所以，所以，故该葡萄每株收获量关于它“相近”葡萄的株数的线性回归方程为.的方差为页11第.（2）由，可知当时，，因此总收入为（万元）.（3）由题知，.由（1）（2），知当时，，所以；当时，，所以；当时，，即时，与之相对应的的值分别为13,12,11，又，，，所以在所种葡萄中随机选取一株，它的收获量的分布列为.20.已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点.（1）若直线过焦点，且与圆交于，（其中，在轴同侧）两点，求证：是定值；（2）设抛物线在点和点处的切线交于点，试问在轴上是否存在点，使得四边形为菱形？若存在，求出此时直线的斜率和点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析；（2）存在点，使得四边形为菱形，此时.【解析】试题分析：(1)联立直线与抛物线的方程整理可得是定值1.(2)由题意可得当直线的斜率为0，且时为菱形，此时.页12第试题解析：解：抛物线的焦点，设，联立与有，则，且，．（Ⅰ）若直线过焦点，则，则，．由条件可知圆圆心为，半径为1，由抛物线的定义有，则，，，(或)即为定值，定值为1．（Ⅱ）当直线的斜率为0，且时为菱形．理由如下：由有，则，则抛物线在处的切线为，即……①同理抛物线在处的切线为……②联立①②解得，代入①式解得，即．又，所以，即的中点为．则有轴．若为菱形，则，所以，此时，，则．方法二：设，，由有，则，若为菱形，则，则，页13第即，则，,则抛物线在处的切线为，即……①同理抛物线在处的切线为……②联立①②．又的中点为，所以．方法三：设，，由有，则，若为菱形，则，则，即，则，此时直线，则所以．点睛：1.圆锥曲线有关综合问题,常需分析图形的静与动,抓住变化的关键因素.2.“目标先行”是一个永远的话题3.数、形两方面恰当地表示图形的位置关系和数量关系.几何关系如何用代数形式转化,是解圆锥曲线问题的关键.21.已知函数，.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）当时，令函数，若函数在区间上有两个零点，求实数的取值范围.【答案】（1）切线方程为；（2）实数的取值范围是.【解析】【试题分析】（1）当时，求出切点和斜率，利用直线方程点斜式可求得切线方程.（2）先化简得到.利用导数求得其最小值为，由此得到在区间上有两个零点的条件是，解这个不等式求得的范围.【试题解析】页14第（1）当时，.当时，，所以点为，又，因此.因此所求切线方程为.（2）当时，，则.因为，所以当时，，且当时，；当时，；故在处取得极大值也即最大值.又，，，则，所以在区间上的最小值为，故在区间上有两个零点的条件是，所以实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查函数导数与切线，考查函数导数与零点问题，考查化归与转化的数学思想方法.第一问要求函数在某一点的切线方程，只需求出切点和斜率，利用点斜式即可求得对应的切线方程.第二问利用导数研究图像得到其最小值后列不等式组来求的取值范围.22.在平面直角坐标系中，已知点（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标