基本不等式

教学目标：（1）了解基本不等式的证明过程；（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值的问题。基础知识1.基本不等式220,0,2,,2ababababaRbRababab如果那么（当且仅当时取等号）。如果，那么，（当且仅当时取等号）。ABCDDabab注：几何解释2.重要变形2220,0,22ababababababab若则，当且仅当时取等号。基础知识（由小到大）基础知识（和定积最大，积定和最小）一利用基本不等式证明不等式44441.14;114.0,0,1abcdabcdababab例（）证明不等式：（2）已知：且，求证：444222222442244224422444222222444222222222222()2222)2()(),,abcabbccaabcabcababbcbccaacabcabbccaabcabbccaabbccaabcabcabc成立证明：三式相加得（即同理可证：又互不相等，所以等号不成立所以444222222,,()abcabcabbccaabcabc举一反三：若是互不相等的正数，求证:122.10()3120()30,0,41,42,2490,0,1,xfxxxxfxxxabababxxxxyxyxy例（）若，求的最小值。(2)若，求的最大值。（3）已知且求的最大值。（4）已知求的最小值。（5）已知且求的最小值。二、利用基本不等式求函数的最值例3.某工厂拟建一座平面图形为矩形，面积为200平方米且深为1米的三级污水处理池（平面图如下），由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外圈周壁建造单价为每平方米400元，中间两条隔墙建造单价为每平方米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。三利用基本不等式解实际应用问题x200x400400400)40024820080324800()16003241600160004480032420020016,16162(21816,()()xxxxxxxxxxxxxxyxxxfxxfx)，当且仅当时等号成立，但由于所以等号不成立,记,显然在区解：设底面一边为米，则另一边为米，有且，即12.5水池外围四壁的总面积为(平方米,则12.5min0,1818,12.5,1645000.16()1612.5xfxxy上间上单调递减,在区间上单调递增,所以在区间函数单调递减，所以当取最小值，即当故污水池底面的长设计为16米，宽设计为时总造价最低。时时，米反馈练习.A9B25C50D162131132ABCD3643,,4,(13)yxxyRxyxxxx1设且则5+5的最小值是();2.已知0,则取最大值时的值是();3已12A42B3+22C2D4A18B23C6D63,1,1,,abxyxyxyababxy知正数满足则+的最小值是();4若实数满足则3+3的最小值是（）；5如果实数满足，221311243D4xy=1,则(1-xy)(1+xy)有();A最小值和最大值B最大值和最小值C最小值而无最大值最大值1而无最小值CBBBB2260,0,420190,0xyxyxyxxxxyxyxy若，则有最值为；7当时，函数y=(2-)有最值，其值是；8设，且+=1，则的最小值是.大25大1116反馈练习拓展提高D222222220,00()()241664()166464216,()22,2ababbabababbabaaaababaaab解：即当且仅当时等号成立。2161.0,()ababab已知求的最小值。22.011()abaabaab（2010四川文）设，则的最小值是()A1B2C3D4课堂小结（1）基本不等式具有将“和式”与“积式”互相转化的功能；（2）要创设使用基本不等式的条件，合理拆分项和配凑因式，要判断等号能否成立。学好基本不等式，格式规范要切记；一正二定三相等，添项配凑活用“1”。作业：学案74页9、10