基本不等式与应用

高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组杨义清基本不等式与应用台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习1．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：_____________．(2)等号成立的条件：当且仅当_________时等号成立．(3)其中a＋b2称为正数a，b的____________，ab称为正数a，b的_____________．a＞0，b＞0a＝b算术平均数几何平均数台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习2．利用基本不等式求最大、最小值问题(1)积定和最小如果x，y∈(0，＋∞)，且xy＝P(定值)．那么当_________时，x＋y有最小值2P.(2)和定积最大如果x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝S(定值)．那么当时，xy有最大值S24.x＝yx＝y台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习值是的最，则，且、若值是的最，则，且、若baabbaabbaba20,2.20,1小大122台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习常用结论台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习•当利用基本不等式求最大(小)值时，若等号取不到，如何处理？•【提示】当等号取不到时，利用函数的单调性求解．台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习•【答案】C1．设0＜x＜1，x(1－x)取得最大值为()A.13B.12C.41D.23【解析】∵0＜x＜1，∴x(1－x)≤(x＋（1－x）2)2＝41，当且仅当x＝1－x，即x＝12时等号成立．台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习2.求函数（x0）的值域xxy1解：台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习注意点•利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑．一正：各项均为正数；二定：积或和为定值；三相等：等号能够取得台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习练习一•1、答案：C台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习2.在下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是()答案：D台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧一：拼凑台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧一：拼凑台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习注意点•利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为拆、凑．一正：各项均为正数；二定：积或和为定值；三相等：等号能够取得台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧一：拼凑台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧一：拼凑台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧一：拼凑台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习•3、若，则x+y的取值范围是。•4、已知，则的最小值为。122yx1loglog22baba93(-∞，-2]18台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧二：“1”的活用台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习1、多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2、求解的关键是条件的恰当变形与“1”的代换；本题的常见错误是条件与结论分别利用基本不等式，导致错误，根本原因忽视等号成立条件．台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习方法与技巧二：“1”的活用1.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，且3x＋4y的最小值是_____．【解析】(1)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，∴3x＋4y＝(x＋y)(3x＋4y)＝3yx＋4xy＋7≥23yx·4xy＋7＝7＋43，当且仅当3yx＝4xy且x＋y＝1，即x＝－3＋23，y＝4－23时等号成立，∴3x＋4y的最小值是7＋43.台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习2．已知向量a＝(x，2)，b＝(1，y)，其中x＞0，y＞0.若a·b＝4，则1x＋2y的最小值为()A.32B．2C.94D．22【解析】∵a·b＝4，∴x＋2y＝4，∴x4＋y2＝1，∴1x＋2y＝(1x＋2y)(x4＋y2)＝54＋y2x＋x2y≥54＋2y2x·x2y＝94，当且仅当“y2x＝x2y”，即“x＝y”时取“＝”．【答案】C方法与技巧二：“1”的活用台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习3、若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是()A.245B.285C．5D．6【审题视点】(1)凑和为定值，添配系数；(2)将条件变形35x＋15y＝1，然后注意“1”的代换．解：由x＞0，y＞0，且x＋3y＝5xy，得35x＋15y＝1.∴3x＋4y＝(3x＋4y)(35x＋15y)＝135＋3x5y＋12y5x≥135＋23x5y·12y5x＝5，当且仅当x＝2y＝1时，等号成立．∴最小值为5.【答案】C方法与技巧二：“1”的活用台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习(2013·深圳调研)设x，y为实数，若x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．由x2＋y2＋xy＝1，得1＝(x＋y)2－xy，∴(x＋y)2＝1＋xy≤1＋（x＋y）24，解得－233≤x＋y≤233，∴x＋y的最大值为233.台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习•【答案】3已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．【解析】∵x＞0，y＞0且1＝x3＋y4≥2xy12，∴xy≤3.当且仅当x3＝y4时取等号．台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习•某单位建造一间地面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习•【思路点拨】用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0＜x≤5；函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性．【尝试解答】由题意可得，造价y＝3(2x×150＋12x×400)＋5800＝900(x＋16x)＋5800(0＜x≤5)，则y＝900(x＋16x)＋5800≥900×2x×16x＋5800＝13000(元)，当且仅当x＝16x，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．台山市李谭更开纪念中学数学组高考第一轮复习4．(2013·揭阳城质检)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品应为________件．【解析】设每件产品的平均费用为y元，由题意得y＝800x＋x8≥2800x·x8＝20.当且仅当800x＝x8(x＞0)，即x＝80时，“＝”成立．【答案】80