6.2 线性子空间的和与直和

22:16线性空间与欧几里得空间1§2线性子空间的和与直和线性子空间的和线性子空间的和的维数公式线性子空间的和的基的求法线性子空间的直和22:16线性空间与欧几里得空间2线性子空间的和两个线性子空间的交是线性子空间，但两个线性子空间的并集一般不是线性子空间。则集合也是一个线性子空间，proof22:16线性空间与欧几里得空间3线性子空间的和(2)从线性子空间的和的定义很容易看出：(3)多个子空间的和：22:16线性空间与欧几里得空间4线性子空间的和的维数以上4个线性子空间都是2维的22:16线性空间与欧几里得空间5线性子空间的和的维数(理论结果)引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。proofproofproof22:16线性空间与欧几里得空间6线性子空间的和的求法：例子主元所在的列对应的向量组就是一个极大线性无关组22:16线性空间与欧几里得空间7线性子空间的和的求法：例子基础解系:22:16线性空间与欧几里得空间8线性子空间的直和:定义下面介绍子空间的和的一种重要的特殊情形----直和.必要性是显然的,下证充分性.22:16线性空间与欧几里得空间9线性子空间的直和，补子空间proofproof22:16线性空间与欧几里得空间10多个线性子空间的直和proof22:16线性空间与欧几里得空间11命题2.1的证明所以W是线性子空间。back证明：22:16线性空间与欧几里得空间12命题2.2的证明证明:由定义,有back22:16线性空间与欧几里得空间13引理２.３的证明如果这个向量组不是W的基,则用同样的方法扩充线性无关的向量组,直到不能扩充为止．最后得到W的一组基.back引理2.3:线性子空间中的线性无关的向量组可以被扩充成该子空间的一组基。证明:22:16线性空间与欧几里得空间14定理2.4的证明证明:注意到只要证明线性无关22:16线性空间与欧几里得空间15定理2.4的证明(2)设有所以即有back22:16线性空间与欧几里得空间16定理2.6的证明证明：由维数公式可以得到(2)与(3)的等价性。下面证明(1)与(2)的等价性。back22:16线性空间与欧几里得空间17定理2.7的证明由于基的扩充是不唯一的，所以当W是不平凡子空间时，它的补子空间是不唯一的。back22:16线性空间与欧几里得空间18命题2.8的证明证明:22:16线性空间与欧几里得空间19命题2.8的证明(2)=0所以22:16线性空间与欧几里得空间20命题2.8的证明(3)其中则有于是={0}所以back