2016届《创新设计》人教A版高考数学(文)大一轮复习课件 第9章 平面解析几何 第1讲直线的方程

基础诊断考点突破课堂总结基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.第1讲直线的方程基础诊断考点突破课堂总结1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l_____方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为__；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是________．知识梳理向上[0，π)0基础诊断考点突破课堂总结(2)直线的斜率①定义：当直线l的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tanα叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝______；②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝_______.tanαy2－y1x2－x1基础诊断考点突破课堂总结2．直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率__________与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率________________两点式过两点__________________与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距____________不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线y＝kx＋by－y0＝k(x－x0)y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1基础诊断考点突破课堂总结3.线段的中点坐标公式若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则x＝____________，y＝_____________，此公式为线段P1P2的中点坐标公式．x1＋x22y1＋y22基础诊断考点突破课堂总结(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(2)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．()(3)直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(4)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．()(5)经过点P(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示×××√××基础诊断考点突破课堂总结2．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．150°D．120°解析直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°.答案B基础诊断考点突破课堂总结3．如果A·C0，且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过一、二、四象限，不经过第三象限．答案C基础诊断考点突破课堂总结4．已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为－34，则直线l的方程为()A．3x＋4y－14＝0B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0D．4x－3y＋14＝0解析由点斜式，得y－5＝－34(x＋2)，即3x＋4y－14＝0.答案A基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________．解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.答案3x－2y＝0或x＋y－5＝0基础诊断考点突破课堂总结考点一直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是()A.0，π2B．(0，π)C.－π4，π4D．0，π4∪34π，π(2)经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的倾斜角α的范围是________．基础诊断考点突破课堂总结解析(1)直线x·sinα－y＋1＝0的斜率是k＝sinα，又∵－1≤sinα≤1，∴－1≤k≤1，当0≤k≤1时，倾斜角的范围是0，π4；当－1≤k＜0时，倾斜角的范围是34π，π.基础诊断考点突破课堂总结(2)法一如图所示，kPA＝－2－－11－0＝－1，kPB＝1－－12－0＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是3π4，π∪0，π4.基础诊断考点突破课堂总结法二由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0.∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0，∴－1≤k≤1.∴直线l的倾斜角α的范围是3π4，π∪0，π4.深度思考同学们的解法应该多数是求kPA，kPB，再根据图象观察出倾斜角α的范围，但是还有一种方法不妨试一试，在线性规划中提到过．答案(1)D(2)3π4，π∪0，π4基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y＝tanx在[0，π)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π)上并不是单调的；(2)过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线无斜率．基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知线段PQ两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2,2)，若直线l：x＋my＋m＝0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是________．基础诊断考点突破课堂总结解析如图所示，直线l：x＋my＋m＝0过定点A(0，－1)，当m≠0时，kQA＝32，kPA＝－2，kl＝－1m，∴－1m≤－2或－1m≥32，解得0＜m≤12或－23≤m＜0；当m＝0时，直线l的方程为x＝0，与线段PQ有交点．∴实数m的取值范围为－23≤m≤12.答案－23，12基础诊断考点突破课堂总结考点二直线方程的求法【例2】根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010；(2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；(3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.基础诊断考点突破课堂总结解(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0απ)，从而cosα＝±31010，则k＝tanα＝±13.故所求直线方程为y＝±13(x＋4)，即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.基础诊断考点突破课堂总结(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k＝34.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.基础诊断考点突破课堂总结规律方法根据各种形式的方程，采用待定系数的方法求出其中的系数，在求直线方程时凡涉及斜率的要考虑其存在与否，凡涉及截距的要考虑是否为零截距以及其存在性．基础诊断考点突破课堂总结【训练2】求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍．基础诊断考点突破课堂总结解(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(4,1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4,1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.基础诊断考点突破课堂总结(2)由已知：设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.基础诊断考点突破课堂总结考点三直线方程的综合应用【例3】已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．基础诊断考点突破课堂总结深度思考本题有两种解法，主要从所求直线方程的设法上入手，可设截距式或点斜式，可以尝试一下．解法一设直线方程为xa＋yb＝1(a＞0，b＞0)，点P(3,2)代入得3a＋2b＝1≥26ab，得ab≥24，从而S△ABO＝12ab≥12，当且仅当3a＝2b时等号成立，这时k＝－ba＝－23，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.基础诊断考点突破课堂总结法二依题意知，直线l的斜率k存在且k＜0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k＜0)，且有A3－2k，0，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝12(2－3k)3－2k＝1212＋－9k＋4－k≥1212＋2－9k·4－k＝12×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝4－k，即k＝－23时，等号成立，即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.基础诊断考点突破课堂总结规律方法直线方程综合问题的两大类型及解法：(1)与函数相结合的问题，解决这类问题，一般是利用直线方程中的x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决；(2)与方程、不等式相结合的问题，一般是利用方程、不等式的有关知识(如方程解的个数、根的存在问题，不等式的性质、基本不等式等)来解决．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．(1)证明直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，令x＋2＝0，1－y＝0，解得x＝－2，y＝1，∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．基础诊断考点突破课堂总结(2)解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有－1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解之得k0；当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.基础诊断考点突破课堂总结(3)解由题意可知k≠0，再由l的方程，得A－1＋2kk，0，B(0,1＋2k)．依题意得－1＋2kk0，1＋2k0，解得k0.∵S＝12·|OA|·|OB|＝12·1＋2kk·|1＋2k|＝12·1＋2k2k＝124k＋1k＋4≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k0且4k＝1k，即k＝12，∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1．要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围，熟记斜率公式：k＝y2－y1x2－x1，该公式与两点顺序无关，已知两点坐标(x1≠x2)时，根据该公式可求出经过两点的直线的斜率．当x1＝x2，y1≠y2时，直线的斜率不存在，