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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 5.3 平面向量的数量积
1、中小学一对一课外辅导专家-1-§5.3平面向量的数量积1.平面向量的数量积已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cosθ.规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=|a|cosθ;(2)非零向量a,b,a⊥b⇔a·b=0;(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|,a·a=|a|2,|a|=a·a;(4)cosθ=a·b|a||b|;(5)|a·b|__≤__|a||b|.4.平面向量数量积满足的运算律(1)a·b=b·a(交换律);(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ为实数);(3)(a+b)·c=a·c+b·c.5.平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),。
2、则a·b=x1x2+y1y2,由此得到(1)若a=(x,y),则|a|2=x2+y2或|a|=x2+y2.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A、B两点间的距离|AB|=|AB→|=x2-x12+y2-y12.(3)设两个非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b⇔x1x2+y1y2=0.【思考辨析】中小学一对一课外辅导专家-2-判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(√)(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(√)(3)△ABC内有一点O,满足OA→+OB→+OC→=0,且OA→·OB→=OB→·OC→,则△ABC一定是等腰三角形.(√)(4)在四边形ABCD中,AB→=DC→且AC→·BD→=0,则四边形ABCD为矩形.(×)(5)两个向量的夹角的范围是[0,π2].(×)(6)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是λ-43或λ0.(×)1.(2014·重庆)已知向量a=(k,3),b=(1,4),c。
3、=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k等于()A.-92B.0C.3D.152答案C解析因为a=(k,3),b=(1,4),所以2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6).因为(2a-3b)⊥c,所以(2a-3b)·c=(2k-3,-6)·(2,1)=2(2k-3)-6=0,解得k=3.故选C.2.已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1,则向量a与向量a+2b的夹角等于()A.150°B.90°C.60°D.30°答案D解析设向量a与向量a+2b的夹角为θ.∵|a+2b|2=4+4+4a·b=8+8cos60°=12,∴|a+2b|=23,a·(a+2b)=|a|·|a+2b|·cosθ=2×23cosθ=43cosθ,又a·(a+2b)=a2+2a·b=4+4cos60°=6,∴43cosθ=6,cosθ=32,∵θ∈[0°,180°],∴θ=30°,故选D.3.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为________.中小学一对一课外辅导专家-3-答案655解析设a和b的夹角为θ,|a|cosθ=|a|a·b|a||b|=2。
4、×-4+3×7-42+72=1365=655.4.在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足AP→=2PM→,则PA→·(PB→+PC→)的值为________.答案-4解析由题意得,AP=2,PM=1,所以PA→·(PB→+PC→)=PA→·2PM→=2×2×1×cos180°=-4.题型一平面向量数量积的运算例1(1)(2013·湖北)已知点A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB→在CD→方向上的投影为()A.322B.3152C.-322D.-3152(2)已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点,则DE→·CB→的值为________;DE→·DC→的最大值为________.答案(1)A(2)11解析(1)AB→=(2,1),CD→=(5,5),∴AB→在CD→方向上的投影为AB→·CD→|CD→|=2×5+1×552+52=1552=322.(2)方法一以射线AB,AD为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设E(t,0),t∈[0,1],则DE→。
5、=(t,-1),CB→=(0,-1),所以DE→·CB→=(t,-1)·(0,中小学一对一课外辅导专家-4--1)=1.因为DC→=(1,0),所以DE→·DC→=(t,-1)·(1,0)=t≤1,故DE→·DC→的最大值为1.方法二由图知,无论E点在哪个位置,DE→在CB→方向上的投影都是CB=1,∴DE→·CB→=|CB→|·1=1,当E运动到B点时,DE→在DC→方向上的投影最大即为DC=1,∴(DE→·DC→)max=|DC→|·1=1.思维升华求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.(1)已知平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6.则x1+y1x2+y2的值为()A.23B.-23C.56D.-56(2)在△ABC中,若A=120°,AB→·AC→=-1,则|BC→|的最小值是()A.2B.2C.6D.6答案(1)B(2)C解析(1)由已知得,向量a=(x1,y1)与b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,即3(x1,y1)+2(x2,y2)=(0,0),得x1=-23x2,y1=-23。
6、y2,故x1+y1x2+y2=-23.(2)∵AB→·AC→=-1,∴|AB→|·|AC→|·cos120°=-1,即|AB→|·|AC→|=2,∴|BC→|2=|AC→-AB→|2=AC→2-2AB→·AC→+AB→2≥2|AB→|·|AC→|-2AB→·AC→=6,∴|BC→|min=6.题型二求向量的模与夹角中小学一对一课外辅导专家-5-例2(1)若平面向量a与平面向量b的夹角等于π3,|a|=2,|b|=3,则2a-b与a+2b的夹角的余弦值等于()A.126B.-126C.112D.-112(2)已知向量a,b的夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=________.(3)(2013·山东)已知向量AB→与AC→的夹角为120°,且|AB→|=3,|AC→|=2.若AP→=λAB→+AC→,且AP→⊥BC→,则实数λ的值为________.答案(1)B(2)32(3)712解析(1)记向量2a-b与a+2b的夹角为θ,又(2a-b)2=4×22+32-4×2×3×cosπ3=13,(a+2b)2=22+4×32+4×2×3×cosπ3=52,(2a-b)·。
7、(a+2b)=2a2-2b2+3a·b=8-18+9=-1,故cosθ=2a-b·a+2b|2a-b|·|a+2b|=-126,即2a-b与a+2b的夹角的余弦值是-126.(2)∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a|·|b|cos45°=22|b|,|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10,∴|b|=32.(3)由AP→⊥BC→知AP→·BC→=0,即AP→·BC→=(λAB→+AC→)·(AC→-AB→)=(λ-1)AB→·AC→-λAB→2+AC→2=(λ-1)×3×2×-12-λ×9+4=0,解得λ=712.思维升华(1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式,尤其对|a|=a·a要引起足够重视,它是求距离常用的公式.中小学一对一课外辅导专家-6-(2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律,就会达到简化运算的目的.(1)(2013·天津)在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若AC→·BE→=1,则AB的长为________.(2)(2014·江西)已知。
8、单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=13,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.答案(1)12(2)223解析(1)在平行四边形ABCD中,取AB的中点F,则BE→=FD→,∴BE→=FD→=AD→-12AB→,又AC→=AD→+AB→,∴AC→·BE→=(AD→+AB→)·(AD→-12AB→)=AD→2-12AD→·AB→+AD→·AB→-12AB→2=|AD→|2+12|AD→||AB→|cos60°-12|AB→|2=1+12×12|AB→|-12|AB→|2=1.∴12-|AB→||AB→|=0,又|AB→|≠0,∴|AB→|=12.(2)∵|a|=3e1-2e22=9+4-12×1×1×13=3,|b|=3e1-e22=9+1-6×1×1×13=22,∴a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9e21-9e1·e2+2e22=9-9×1×1×13+2=8,∴cosβ=83×22=223.题型三数量积的综合应用例3已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量m=(a,b),n=(sinB,s。
9、inA),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;中小学一对一课外辅导专家-7-(2)若m⊥p,边长c=2,角C=π3,求△ABC的面积.思维点拨(1)由m∥n可得△ABC的边角关系,再利用正弦定理边角互化即可证得结论;(2)由m⊥p得a、b关系,再利用余弦定理得ab,代入面积公式.(1)证明∵m∥n,∴asinA=bsinB,即a·a2R=b·b2R,其中R是三角形ABC外接圆半径,∴a=b.∴△ABC为等腰三角形.(2)解由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0.∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=12absinC=12×4×sinπ3=3.思维升华解决以向量为载体考查三角形问题时,正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法.已知向量m=(2sin(ωx+π3),1),n=(2cosωx,-3)(ω0),函数f(x)=m·n的两条相邻对称轴间的距离为π2.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)当x。
10、∈[-5π6,π12]时,求f(x)的值域.解(1)f(x)=m·n=4sin(ωx+π3)cosωx-3=2sinωxcosωx+23cos2ωx-3=sin2ωx+3cos2ωx=2sin(2ωx+π3).因为T=2π2ω=π,所以ω=1.所以f(x)=2sin(2x+π3).中小学一对一课外辅导专家-8-由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)得kπ-5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z).所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ-5π12,kπ+π12](k∈Z).(2)因为x∈[-5π6,π12],所以2x+π3∈[-4π3,π2].所以sin(2x+π3)∈[-1,1].所以f(x)∈[-2,2],即f(x)的值域是[-2,2].高考中以向量为背景的创新题典例:(1)对任意两个非零的平面向量α和β,定义α∘β=α·ββ·β.若两个非零的平面向量a,b满足a与b的夹角θ∈(π4,π2),且a∘b和b∘a都在集合{n2|n∈Z}中,则a∘b等于()A.52B.32C.1D.12思维点拨先根据定义表示出a∘b和b∘a,利用其属于集合{n2|n∈Z},将其表示成集合中元素。
本文标题:2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套文档 5.3 平面向量的数量积
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